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美博教育任意角与弧度制
知识梳理:
一、任意角和弧度制
1、角的概念的推广
定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角，记作：角或可以简记成。
注意：
（1）“旋转”形成角，突出“旋转”
（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴
（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
例1、若，求和的范围。（0,45）（180,270）
2、角的分类：
由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是
（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是．
3、“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角
角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、30?；390?；?330?是第象限角300?；?60?是第象限角
585?；1180?是第象限角?2000?是第象限角。
例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）.
①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}
③{第一象限的角} ④以上都不对
（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）
A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C
例3、写出各个象限角的集合：
例4、若是第二象限的角，试分别确定2,的终边所在位置.
解∵是第二象限的角，
∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）.
（1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z），
∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.
（2）∵k·180°+45°＜＜k·180°+90°（k∈Z），
当k=2n（n∈Z）时，
n·360°+45°＜＜n·360°+90°；
当k=2n+1（n∈Z）时，
n·360°+225°＜＜n·360°+270°.
∴是第一或第三象限的角.
拓展：已知是第三象限角，问是哪个象限的角？
∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°（k∈Z），
60°+k·120°＜＜90°+k·120°.
①当k=3m(m∈Z)时，可得
60°+m·360°＜＜90°+m·360°（m∈Z）.
故的终边在第一象限.
②当k=3m+1(m∈Z)时，可得
180°+m·360°＜＜210°+m·360°（m∈Z).
故的终边在第三象限.
③当k=3m+2（m∈Z）时，可得
300°+m·360°＜＜330°+m·360°（m∈Z）.
三、弧长公式和扇形面积公式
；
例1、已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是1或4.
例2、若两个角的差为1弧度，它们的和为，求这连个角的大小分别为。
例3、直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长⑴⑵
例4、（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇
形的面积是多少？
（2）一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
.
例5、（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
（七）任意角的三角函数（定义）
设?是一个任意角，在?的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y），则P与原点的距离
2．比值叫做?的正弦记作：；比值叫做?的余弦记作：
比值叫做?的正切记作：；比值叫做?的余切记作：
比值叫做?的正割记作：；比值叫做?的余割记作：
注意突出几个问题：①角是“任意角”，当?=2k?+?(k?Z)时，?与?的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。
②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。③三角函数是以“比值”为函数值