“平面向量”误区警示
“平面向量”概念繁多容易混淆，对于初学者更是一头雾水．现将与平面向量基本概念相关的误区整理如下．
⑴向量就是有向线段
解析：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段．
⑵若向量与相等，则有向线段AB与CD重合
解析：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．因此，若＝，则有向线段AB与CD长度相等且方向
相同，但它们可以不重合．
⑶若向量∥，则线段AB∥CD
解析：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．故由与平行，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，
它们可能平行也可能共线．
⑷若向量与共线，则线段AB与CD共线
解析：平行向量也叫做共线向量，共线向量就是方向相同或相反的非零向量．
故由与共线，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线．
⑸若∥，∥，则∥
解析：由于零向量与任一向量平行，故当＝时，向量、不一定平行．
当且仅当、、都为非零向量时，才有∥．
⑹若||＝||，则＝或＝－
解析：由||＝||，只能确定向量与的长度相等，不能确定其方向有何关系．
当与不共线时，＝或＝－都不能成立．
⑺单位向量都相等
解析：长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量，由于单位向量的方向不一定相同，故单位向量也不一定相等．
⑻若||＝0，则＝0
解析：向量和实数是两个截然不同的概念，向量组成的集合与实数集合的交集是空集．
故若||＝0，则＝，不能够说＝0．
平面向量数量积四大考点解析
考点一.考查概念型问题
例1.已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数()
⑴;⑵反向
⑶;⑷=
A.1B.2C.3D.4
评注：两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，
因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.
考点二、考查求模问题
例2.已知向量，若不超过5，则k的取值范围是__________。
评注：本题是已知模的逆向题，运用定义即可求参数的取值范围。
例3.（1）已知均为单位向量，它们的夹角为60°,那么＝（）
A.B.C.D.4
（2）已知向量，向量，则的最大值是___________。
评注：模的问题采用平方法能使过程简化。
考点三、考查求角问题
例4.已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.
练习一：数量积（内积）的意义及运算
1．已知向量，为单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影与在方向上的投影分别为（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
图1ＡＢＣ练习目的：区别在方向上的投影与在方向上的投影，达到正确理解投影的概念．
图1
Ａ
Ｂ
Ｃ
2．在边长为2的等边中，的值是（）．
Ａ．２Ｂ．－２Ｃ．４Ｄ．－４
练习目的：结合图形１，根据投影的意义，理解的几何意义．
3．已知的夹角为，.
(1)求的值；(2)当m为何值时，垂直？
练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，达到巩固数量积的运算目的．
（2）由题意，知,
又
则的最大值为4。
评注：模的问题采用平方法能使过程简化。
考点三、考查求角问题
例4.已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.
分析：要求与的夹角，首先要求出与的夹角的余弦值，即要求出｜｜及｜｜、·，而本题中很难求出｜｜、｜｜及·，但由公式cosθ=可知，若能把·，｜｜及｜｜中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得与的夹角θ.
解：设与的夹角为θ.∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2，
即
解之得2=2·2=2·∴2=2∴｜｜＝｜｜
∴cosθ===∴θ=因此a与b的夹角为.
练习一：数量积（内积）的意义及运算
1．已知向量，为单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影与在方向上的投影分别为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
1．答案B
解答：在方向上的投影
在方向上的投影
练习目的：区别在方向上的投影与在方向上的投影，达到正确理解投影的概念．
图1ＡＢＣ2．在边长为2的等边
图1
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ａ．２Ｂ．－２Ｃ．４Ｄ．－４
2．答案Ｂ
解答：由平面向量数量积公式得：
＝＝
因此的值为－２．
练习目的：结合图形１，根据投影的意义，理解的几何意义．
3．已知的夹角为，.
(1)求的值
(2)