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2025届广西壮族自治区北海市高三第四次模拟预测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（???）
A． B． C． D．
2．若复数，则的虚部为（???）
A． B． C． D．
3．桂林的象鼻山景区有4个主要景点：象鼻山、水月洞、普贤塔、爱情岛．若游客可以选择游览其中的3个景点，且必须包含景点象鼻山，则不同的游览顺序有（???）
A．12种 B．14种 C．18种 D．20种
4．DeepSeek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若DeepSeek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（???）
A．60 B．61 C．62 D．63
5．已知抛物线的顶点在原点，开口向左，且其焦点到准线的距离为6，抛物线上有一点，到焦点的距离为5，则点的纵坐标为（???）
A． B． C． D．
6．在中，内角所对的边分别为．已知的面积为，则（???）
A． B． C． D．
7．已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（???）
A． B． C． D．16
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与在第一象限交于点，若在以为直径的圆上，且的中点在的渐近线上，则的离心率为（???）
A． B． C．2 D．
二、多选题
9．某班级有60%的学生报名参加了数学竞赛，40%的学生报名参加了物理竞赛．报名参加数学竞赛的学生中，有30%同时也报名参加了物理竞赛．从该班级中随机抽取一名学生，记事件为“该学生报名参加数学竞赛”，事件为“该学生报名参加物理竞赛”．则以下说法正确的是（???）
A．事件和事件是独立事件 B．
C． D．
10．已知圆，圆，直线，下列结论正确的是（???）
A．若直线与圆相切，则
B．若，则圆上到直线的距离等于的点恰有3个
C．若圆与圆恰有三条公切线，则
D．若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则可能为
11．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（???）
A． B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称 D．函数有5个零点
三、填空题
12．已知为单位向量，，则．
13．密位制是一种用于测量角度的单位系统，尤其在军事领域中被广泛使用.例如：狙击手在调整射击角度时，可以使用密位制来精确计算目标的距离和角度．密位制的基本原理是将一个圆周分为6000等份，每一份称为1密位．将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，则最小值的密位数为.
14．若函数有两个极值点，则的取值范围是．
四、解答题
15．已知数列满足，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求的通项公式；
(3)设，数列的前项和为，证明：．
16．在四棱锥中，底面为菱形，平面．动点在线段上满足，动点在线段上满足，其中．
(1)当时，证明：平面；
(2)是否存在，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
17．2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想，票房一路攀升，成为全球动画电影票房冠军．截至2025年3月9日全球票房达到148.86亿元，下图为某平台向200名观众征集该电影的评分结果的频率分布直方图．
(1)求的值；
(2)估计这200名观众评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
(3)从评分在和的观众中按照分层抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7人中随机抽取3人进行访谈，求被抽到的3人中评分在的人数的分布列及期望．
18．已知函数．
(1)设，若的导函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若，证明：当时，函数图象上任意一点处的切线总在的图象的上方；
(3)若不等式对任意恒成立，求可取的最大整数值．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，上一点到的距离之和为4．
(1)求的方程；
(2)设的左、右顶点分别为，若为上异于的点，直线与直线相交于点，直线与交于另一点，
（ⅰ）证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标；
（ⅱ）求面积的最大值．
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《2025届广西壮族自治区北海市高三第四次模拟预测数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
A