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安徽省A10联盟2025届高三下学期原创夺冠卷（三）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的虚部为（???）
A． B． C． D．
2．集合，，则（???）
A． B． C． D．
3．已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（???）
A． B． C． D．
4．某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是（???）
附：，，.
A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格
5．已知，则（???）
A． B． C． D．
6．在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（???）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示．已知这两个函数图象恰有一个公共点，则下列说法正确的是（???）
??
A．函数的最大值为 B．函数的最小值为
C．函数的最大值为 D．函数的最小值为
8．已知四面体的顶点均在半径为的同一球面上，且，则该四面体体积的最大值为（???）
A． B．3 C．4 D．
二、多选题
9．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（???）
A． B． C． D．
10．设甲袋有3个红球、2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球、3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以，和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（???）
A． B． C． D．与相互独立
11．已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点的直线与交于两点，则（???）
A．若的中点在轴上，则
B．
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若的最小值为，则椭圆的离心率为
三、填空题
12．在平面直角坐标系中，已知、，，若，则实数的值为．
13．已知，且，，则．
14．已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为．
四、解答题
15．如图，在三棱锥中，平面，，，，．
(1)在线段上找一点，使平面平面，求的长；
(2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
16．在中，、、分别为内角、、的对边，且．
(1)求；
(2)若，，求面积的最大值．
17．已知函数．
(1)当时，求函数的零点；
(2)若在上单调递减，求的取值范围；
(3)若，存在两个极值点、，证明：．
18．已知双曲线过点，渐近线方程为．
(1)求的方程；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上（不含端点）．
①若为的中点，的面积为，求直线的斜率；
②直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点恒在定直线上．
19．深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率.
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.
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《安徽省A10联盟2025届高三下学期原创夺冠卷（三）数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
B
C
D
C
C
ABC
AC
题号
11
答案
ABD
1．B
【分析】应用复数的乘法运算可得，即可得其虚部.
【详解】因为，
所以的虚部为.
故选：B.
2．A
【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，
，故.
故选：A.
3．C
【分析】求出圆心坐标，将圆心坐标代入抛物线方程，将抛物线方程化为标准方程，即可得出抛物线的准线方程.
【详解】圆的圆心为，