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河南省豫西名校2025届高三下学期模拟测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若向量，且，则（????）
A． B． C．1 D．2
2．在等差数列中，，则（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知拋物线的焦点为.若的准线被以为圆心的圆截得的弦长为2，则该圆的方程为（????）
A． B．
C． D．
4．已知为复数，下列选项中是方程的一个根的是（????）
A． B．
C． D．
5．若正整数a，b满足等式，且，则（???）
A．1 B．2 C．2022 D．2023
6．在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角和角，它们的终边分别与单位圆交于点，设线段的中点的纵坐标为，若，则点的纵坐标是（????）
A． B． C． D．
7．图1是边长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，若，则几何体的体积为（?????）
A． B． C． D．
8．已知函数满足，则的值（????）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
9．下列命题中，正确的有（????）
A．若随机变量，，则
B．数据、、、、的上四分位数是
C．若随机变量，则
D．若、两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强
10．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，则（????）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线C的渐近线方程为
C．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点
D．过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点
11．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每个元素都小于中的每个元素，称为戴德金分割．下列结论正确的是（????）
A．是一个戴德金分割
B．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，没有最小元素
C．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，有一个最小元素
D．存在一个戴德金分割，使得没有最大元素，也没有最小元素
三、填空题
12．这次月考五有8道单选题，你朋友童同学对其中5道题有思路，3道题完全没有思路，假设有思路的题能做对的概率为，没有思路的题仅随机猜，你恰好看到了她一道题的答案，这个答案是正确的概率为．
13．函数，若对任意，使得恒成立，则的取值范围为.
14．在中，内角所对边分别为，若，则.
四、解答题
15．某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
青少年组
中年组
老年组
愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
第一款
40
20
80
20
20
20
第二款
30
30
60
40
30
10
第三款
50
10
80
20
10
30
假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率.
(1)从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；
(2)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望；
(3)用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品．直接写出方差的大小关系．
16．已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)求使得成立的最大整数.
17．如图，三棱锥中，，平面平面，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若为钝角，且二面角的大小为，求.
18．已知.
(1)若
（i）过点作曲线的两条切线，求的取值范围；
（ii）求不等式的解集；
(2)若在区间内存在极小值点，求的取值范围.
19．椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆：相似.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左?右顶点，的一点.
①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值.
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