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黑龙江省哈尔滨市第六中学校2024-2025学年高三下学期第四次模拟考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（???）
A． B． C． D．
2．设复数满足，那么（???）
A． B． C． D．
3．对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（????）
??
A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系
B．图1数据正相关，图2数据负相关
C．图1相关系数小于图2相关系数
D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0
4．已知，则“”是“是奇函数”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数的零点的个数为（?????）
A． B．
C． D．无法确定，与的取值有关
6．已知圆柱的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为，若圆柱和圆台的高和体积都相等，则（???）
A． B． C． D．
7．设.为抛物线的焦点，的准线与轴交于一点，过的直线与交于、两点.若的面积是的面积的3倍，且，则（???）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．设等差数列的前项和为，已知，，则下列选项正确的是（???）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
9．已知向量与满足，且，则下列说法正确的是（???）
A．向量与的夹角为
B．
C．向量与向量垂直
D．若向量与向量共线，则
10．已知为坐标原点，双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与轴正半轴交于点，过且垂直于轴的直线与的某条渐近线交于点，且与轴垂直，双曲线的离心率为，渐近线的斜率为，则下列结论正确的是（???）
A． B． C． D．
11．关于函数，下列说法正确的是（????）
A．当时，在处的切线方程为
B．若函数在上恰有一个极值，则
C．对任意，恒成立
D．当时，在上恰有2个零点
三、填空题
12．若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为.
13．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的值为.
14．若为1，2，3，4的任意排列，设，，则满足的排列有个；的概率为.（已知表示中最小的数，表示中最大的数）
四、解答题
15．已知数列是正项等比数列，满足，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：.
16．近年来，直播带货成为电商销售的新模式，某质检部门为了评估某知名主播直播间所售商品的质量，随机抽取了该直播间近3个月销售的600件产品，统计了它们的用户评分（1~5分）和退货率，见下表：
评分
1分
2分
3分
4分
5分
评分分布
5%
10%
20%
45%
20%
退货率
80%
50%
20%
5%
2%
(1)从600件商品中随机抽取1件，求该商品评分不低于4分且未被退货的概率；
(2)假设该直播间每售出1件商品，若未退货则盈利50元，若退货则亏损30元（含运费和售后成本）.设单件商品的盈利为随机变量，求的分布列和期望，并据此判断该直播间的销售模式是否可持续；
(3)质检部门规定，若直播间的商品评分的中位数低于4分，则需要整改.计算该直播间评分的中位数，根据结果判断是否需要整改，若将评分标准改为“众数低于4分”，结论是否改变?解释这种修改对商家可能产生的影响.
17．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．正方形的边长为，分别为边的中点，是线段的中点，如图，把正方形沿折起，设.
(1)求证：无论取何值，与不可能垂直；
(2)当时，求四棱锥的体积；
(3)设二面角的大小为，当时，求的值.
19．椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交于，两点（点位于轴上方），为坐标原点.
(1)若，求的值；
(2)已知二次曲线在点处的切线方程为，现过，两点作的两条切线相交于点，求面积的最小值.
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《黑龙江省哈尔滨市第六中学校2024-2025学年高三下学期第四次模拟考试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
C
A
B
A
D
BD
ACD
题号
11
答案
ABD
1．D
【分析】由集合的交集运算求解即可.
【详解】集合