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湖北省黄冈市文海大联考2025届高三下学期信息卷数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（????）
A． B．
C． D．
2．已知为虚数单位，复数满足，则（???）
A． B．5 C． D．2
3．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为（????）
A． B． C． D．
4．已知，则（????）
A． B． C． D．
5．已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（????）
A． B． C． D．
6．设函数，对有成立，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
7．不等式对任意恒成立，则的最小值为（????）
A． B． C．2 D．
8．二元函数表示有两个自变量的函数，其中，如为一个二元函数．设为正整数，二元函数满足，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（????）
A．随机变量，且，则
B．随机变量Y服从两点分布，且，则
C．对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强
D．在的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为32
10．已知函数，则（????）
A．为其定义域上的增函数 B．为偶函数
C．的图象与直线相切 D．有唯一的零点
11．如图，圆锥的顶点为，将半径为的球置于该圆锥内，使得球与圆锥侧面相切于圆，平面与球切于点为圆上一点，四点共面，且平面，平面截该圆锥所得截口曲线为为曲线上一动点，记圆所在平面为平面，垂足为交圆于点，，则下列选项正确的有（????）
A．
B．
C．是双曲线的一部分
D．若越大，则曲线的开口越大
三、填空题
12．将一装有适量水的圆柱容器斜靠在墙面，已知墙面与水平地面垂直，若圆柱轴线与水平地面所成角为，则液面所呈椭圆的离心率为．
13．设是定义域的子集，对，将的最大值称为在上的振幅，记作．若曲线在点处的切线斜率为3，且，则．
14．数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的取值范围是．
四、解答题
15．已知O为△ABC外心，S为△ABC面积，r为⊙O半径，且满足
(1)求∠A大小；
(2)若D为BC上近C三等分点（即），且，求S最大值．
16．已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．
(1)求直线的斜率k的取值范围；
(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．
17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，，，，，E为AB的中点，M为CE的中点.
(1)证明：；
(2)若，N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为，求四棱锥的体积.
18．已知函数.
(1)若，求在点处的切线方程；
(2)若，当时，，求b的取值范围；
(3)若，求a的取值范围.
19．每个正整数有唯一的“阶乘表示”为（，，…，），这些满足，其中每个都是整数，且，.
(1)求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”；
(2)若正整数对应的“阶乘表示”为（，，…，），正整数对应的“阶乘表示”（，，…，），其中，求证：；
(3)对正整数，记，表示不超过的最大整数，数列前项和为，若，当最小时，求的值.
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《湖北省黄冈市文海大联考2025届高三下学期信息卷数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
B
B
A
B
B
ABD
AD
题号
11
答案
ABD
1．D
【分析】根据题意化简集合N，进而可得交集.
【详解】由题意可得：，
且，所以.
故选：D.
2．A
【分析】利用复数的除法求出复数，再利用复数模长公式即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：A.
3．B
【分析】根据在方向上的投影向量为即可求解.
【详解】，，
所以在方向上的投影