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湖南省2024-2025学年高三下学期第三次适应性考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，，则（????）
A． B． C． D．
2．设复数z满足（是虚数单位），则复数z的虚部为（????）
A． B． C． D．
3．已知事件，是相互独立事件，且，，则（????）
A． B． C． D．
4．在中，角的对边分别为，若.则角的大小为（????）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为2，该圆锥PO侧面展开图的圆心角为，则圆锥PO的体积为（????）
A． B． C． D．
6．已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为（????）
A． B． C． D．3
7．若P是△ABC所在平面内一点，则“”是“△ABC为直角三角形”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．将函数的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（????）
A． B．函数的最小正周期为
C．函数的图象关于点中心对称 D．函数在区间内单调递增
10．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，，离心率为，直线l过点与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（????）
A．椭圆C的方程为
B．的周长为4
C．定点P的坐标为
D．当轴时，的内切圆圆心坐标为
11．若函数满足：对任意，恒有，则称函数为“类余弦型”函数.已知函数为“类余弦型”，若，且对任意非零实数，.则下列结论正确的是（????）
A．
B．若，则
C．函数为偶函数
D．若有理数，满足，则
三、填空题
12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为.
13．如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为.
14．某无人机爱好者在年春节，设计了利用红、橙、黄、绿、紫五种颜色的无人机群呈现如图的方形阵，方形阵分为六个区域，呈现要求是：同一区域为相同颜色的无人机群，且相邻区域的无人机群颜色不能相同，区域必须是红色无人机群，则不同的呈现方式共有种.
四、解答题
15．我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠售后保障，在全球赢得了很好的营销局面.下表为2017年—2024年（年份代码分别记为：1，2，3，4，5，6，7，8）该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计.
年份代码i
1
2
3
4
5
6
7
8
科研经费（单位：百亿元）
2
3
6
10
13
15
18
21
市场规模（单位：百万辆）
1
1
2
2.5
3.5
3.5
4.5
6
参考数据：，，，.
参考公式：相关系数.
(1)根据样本数据，推断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数，推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱）；
(2)已知在国内，新能源车主购买的新能源汽车为该品牌新能源汽车的概率为p（），从国内新能源车主中随机抽取5人，记这5人中选择购买该品牌的人数为随机变量X，若，求随机变量X的数学期望和方差
16．在如图所示的多面体中，已知四边形为菱形，其对角线和相交于H点，G是棱的中点，，且.
(1)求证：平面；
(2)若平面，，求平面与平面所成角的余弦值.
17．已知函数，其中为常实数.
(1)当时，讨论函数在其定义域内的单调性；
(2)若是函数的极大值点，证明：.
18．在平面直角坐标系xOy中，动点（）到点的距离与到x轴的距离之差等于1，记动点P的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)过直线l：上一点Q作轨迹的两条切线，切点分别为A，B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标；
(3)过点的动直线与轨迹交于C，D两点，直线CF交轨迹于另一点E，记△CDE，△CFR的面积分别为，，求的最小值.
19．已知是等差数列，且，，数列是等比数列，其前n项和为，且满足，其中.
(1)当时，求数列与数列的通项公式；
(2)在（1）的条件下，设数列的前n项和为，已知，证明：；
(3)当时，若数列满足（），