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湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（????）
A． B． C． D．
2．记复数的共轭复数为，若，则（???）
A． B． C． D．
3．设，则，，的大小关系是（????）．
A． B．
C． D．
4．已知数列满足，则的值为（????）
A． B． C． D．
5．已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
6．当时，曲线与的交点个数为（???）
A．3 B．4 C．6 D．8
7．已知函数，若，则（????）
A． B．
C． D．以上都不对
8．已知双曲线的上焦点为，过的直线与的两条渐近线分别交于第一，四象限的两点，满足，则双曲线的离心率为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．抛物线的焦点为，准线为为上两个动点，则下列结论正确的有（????）
A．焦点的坐标为
B．准线的方程为
C．若直线经过点，则的最小值为
D．以为直径的圆与准线最多有1个公共点
10．已知函数定义域为，且的图象关于点对称，函数关于直线对称，则下列说法正确的是（????）
A．为奇函数 B．
C． D．
11．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（????）
A．若平面是面积为的等边三角形，则
B．若，则
C．若，则球面的体积
D．若平面为直角三角形，且，则
三、填空题
12．函数的图象在点处的切线方程为.
13．已知等差数列的第5项是的展开式中的常数项，则该数列的前9项和.
14．定义正方形数阵满足，其中且，设的值为奇数的概率，则，.
四、解答题
15．已知的内角所对的边分别为，，.
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的周长.
16．在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，，为上两点，为椭圆上三个动点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由.
17．某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．
(1)求该运动员第二次投篮命中的概率；
(2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；
(3)设第次投篮命中的概率为，求证：．
18．如图，四棱锥中，平面，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，动点在内（含边界）且.
（ⅰ）求线段的轨迹形成的面积；
（ⅱ）设直线与平面所成角为，求的取值范围.
19．已知函数.
(1)当时，判断的零点个数，并说明理由；
(2)设为在区间内的零点，令，，.
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：.
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《湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
B
A
C
B
B
BCD
BC
题号
11
答案
BC
1．D
【分析】由绝对值不等式的求解及交集运算可得结果.
【详解】因为，故.
故选：D.
2．A
【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法求解.
【详解】由，得，所以.
故选：A
3．B
【详解】由题意得，当时，，因此，故选B.
4．B
【分析】利用递推关系和迭代法，依次求出前五项，通过归纳法可得通项公式，并进行检验，然后作出判断即可.
【详解】由，可得：
以此类推，可归纳，
经检验，当时，有，所以仍然满足，故，
故选：B.
5．A
【分析】首先表示出、的坐标，即可求出及，再根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为，
所以，，所以，，
所以向量在上的投影向量为.
故选：A
6．C
【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以函数在上有1个周期的图象，
因为函数的最小正周