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吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期第四次模拟考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（????）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则复数（????）
A．1 B． C．5 D．
3．某唱歌比赛共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分．8个有效评分与10个原始评分相比，一定不变的数字特征是（????）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．标准差
4．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，则（????）
A． B． C． D．
6．所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为（????）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为R，，且，，则（????）
A．是奇函数 B．
C． D．是周期为2的函数
8．坐标平面上的点也可表示为，其中，为轴非负半轴绕原点逆时针旋转到与重合的旋转角．将点绕原点逆时针旋转后得到点，这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的离心率为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．对于回归分析，下列结论中正确的是（????）
A．两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于0
B．若回归直线的斜率估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为
C．在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
D．用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好
10．已知函数在上有且只有五个零点，下列结论中正确的是（????）
A．的图象关于对称 B．在上，方程有3个根
C．的取值范围是 D．在上单调递增
11．已知双曲线，直线m与双曲线的右支交于点A，B（A在x轴上方），与双曲线的两条渐近线交于点M，N（M在x轴上方），O为坐标原点．当直线m的斜率存在时，下列结论中正确的是（）
A．恒成立
B．的面积的最小值为1
C．若，则
D．若，则的面积为定值
三、填空题
12．已知向量满足，且，则．
13．已知在等差数列中，是正整数，且，设为数列的前n项和，若，则．
14．盒子中有1个红球，2个黄球，3个白球，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和白球）的概率为．
四、解答题
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为，周长为20．
(1)求A；
(2)求a．
16．如图，在直角梯形ABCD中，于E，沿DE将折起，使得点A到点P的位置，，N是棱BC上的动点（不与B，C重合），F是棱PB中点，于M．
??
(1)证明：平面平面PBC﹔
(2)当三棱锥的体积为时，求平面EFN和平面PCD的夹角的余弦值．
17．已知函数．
(1)若恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，．
18．知点，点P在y轴上，点Q在x轴上，且满足．
(1)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹的方程；
(2)设点为轨迹内一定点，过E作斜率分别为的两条直线交轨迹于点A，B和C，D，且S，T分别是线段AB，CD的中点．
（i）当且时，求面积的最小值；
（ⅱ）若（为常数），证明：直线ST过定点．
19．某学校食堂共有A，B，C三个窗口分别为学生提供三种不同菜品，假设每人每餐只能选择一个窗口，某人第i次在A，B，C窗口选餐分别记为事件．已知，若某次选择A窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为；若某次选择B窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为．若某次选择C窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为．
(1)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由；
(2)设，证明：；
(3)定义随机变量，当选择A窗口时，否则，求数学期望．
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《吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期第四次模拟考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
D
A
C
B
B
BD
BCD
题号
11
答案
ACD