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江西省新余市实验中学2024-2025学年高三下学期4月信息押题卷数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点位于实轴上，则实数m的值为（????）
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，，则（????）
A． B． C． D．
4．有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（????）
A．40 B．48 C．52 D．60
5．已知，则（????）
A． B． C． D．
6．已知函数的定义域为，且，，，则（????）
A．5 B． C．2 D．
7．抛物线的焦点为，为坐标原点，，点为抛物线上任意一点，的平分线与轴的交点为，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
8．若函数的图象上存在四个点能够构成一个以坐标原点O为对称中心的平行四边形，则称该函数为柯尔莫哥洛夫函数.已知函数为柯尔莫哥洛夫函数，则实数m的取值范围为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选题）函数，则下列关于的说法中正确的有（????）
A．最小正周期是 B．最大值是2
C．在区间上单调递减 D．图象关于点中心对称
10．已知圆M的圆心M在x轴上，且圆M与直线和都相切，点P为直线l：与y轴的交点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则（????）
A．若直线l与圆M相切，则 B．当时，四边形PAMB的面积为
C．的取值范围为 D．若点，则为定值
11．函数的定义域为，若存在满足：对任意的恒成立，则称为上的函数，则下列说法正确的是（???）
A．若是上的函数，则为上的函数
B．，是上的函数
C．是上的函数，则
D．命题“是上的函数”的一个必要条件为“”
三、填空题
12．某无人机的研发费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对应数据如表所示：
研发费用x
3.4
4.7
5
5.6
6.3
销售量y
15
16.9
19.2
18
20.9
根据表中数据可得经验回归方程为，则第三个样本点对应的残差为.
13．四面体的每一组对棱的长度相等，分别为，，，则该四面体的体积为，该四面体的外接球的表面积为.
14．O为坐标原点,点为椭圆与抛物线的交点，的外接圆圆心在椭圆M上，则.
四、解答题
15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)证明：.
(2)若的平分线AD交BC于D，，，求的值.
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，，且.
(1)求证：平面平面BCP.
(2)若，且三棱锥的体积是四棱锥.体积的一半.
（i）求点C到平面APQ的距离；
（ii）求平面APQ与平面BCQ夹角的余弦值.
17．函数，.
(1)方程有两解，，求证：；
(2)证明：.
18．双曲线E：的渐近线方程为，且双曲线E过点.
(1)求双曲线E的标准方程.
(2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，该公共点为切线的切点.已知点T在直线l：上，且过点T恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为P和M.
（i）设点T的横坐标为t，求t的取值范围；
（ii）设直线TP和直线TM分别与直线交于点Q和点N，证明：直线PN和直线MQ交点在定直线上.
附：双曲线以点为切点的切线方程为.
19．当且仅当数列满足下列条件①②时，称数列为广义Hilbert数列：①数列满足；②数列中共有项（），其中m项为，k项为1，且对任意，，，，中的个数不少于1的个数.当时，广义Hilbert数列称为Hilbert数列；表示广义Hilbert数列的个数.
(1)当时，求的值；
(2)若既为等比数列，又为Hilbert数列，求符合条件的所有的通项公式；
(3)，求，并证明：当时，.
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《江西省新余市实验中学2024-2025学年高三下学期4月信息押题卷数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
B
B
D
B
A
AC
ACD
题号
11
答案
ABD
1．A
【分析】由不等式可得集合的元素，