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名校交流2025届高三第六次联考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则等于（???）
A． B． C． D．
2．已知复数，其共轭复数为，则（???）
A．2 B． C． D．1
3．若，则（???）
A． B． C． D．
4．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（???）
A． B． C． D．
5．“”是“圆截直线所得弦长为2”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知的面积为，，，则（???）
A． B．3 C．4 D．5
7．正方体的棱长为4，点M在棱上，平面ACM把正方体分成两个几何体，其中一个几何体的体积为14，则平面ACM截正方体所得的截面周长为（???）
A． B． C． D．15
8．定义：对于二元函数，当固定在，而在处有增量时，相应地函数有增量，若存在，则称为在点处对的偏导数，记为；同理可定义函数在点处对的偏导数为，记为．已知函数，则下列结论正确的是（???）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
二、多选题
9．若，则（???）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，直线与交于两点（点在第一象限），为线段的中点，则（???）
A． B．直线的斜率为
C． D．
11．已知函数的定义域为，对于，都有，则（???）
A．
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数的图象关于直线对称
D．
三、填空题
12．已知是函数的一个对称中心，且点到的图象最高点距离的最小值为，则．
13．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别是是坐标原点，是上一点，且，过作的平分线的垂线，垂足为M，则．
14．某不透明袋子中装有若干个除标号外完全相同的小球，记小球标号分别为1，2，3，4，已知随机摸取一个小球，其标号为1，2，3，4的概率依次成等差数列．现有放回地随机摸球两次（每次摸球一个），所摸球的标号分别记为a，b，若事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为．
四、解答题
15．花旗银行于2024年12月发布的《人工智能机器人的崛起》报告，深入剖析了AI机器人领域的技术突破、市场机遇与挑战．这份报告传递了一个清晰的信号：AI机器人正在从实验室和工厂加速走向我们的日常生活，预计到2035年将有13亿台，2050年更将达到40亿台．某人工智能公司先后共开发七款人工智能类产品（代码x为1~7），其综合评分y如下表所示：
代码x
1
2
3
4
5
6
7
综合评分y（单位：分）
5.8
6.6
7.2
8.8
9.6
10.4
11.8
(1)求这七款人工智能类产品综合评分的40%分位数；
(2)根据表中的数据，可推断出变量y与x之间具有线性相关关系，请预测该公司即将研发成功的第八款人工智能类产品的综合评分；
(3)把综合评分不超过8分的人工智能类产品叫做“初级品”，从已开发的七款人工智能类产品中任取2款，X表示取到“初级品”的个数，求X的分布列和数学期望．
参考数据：．
参考公式：回归直线方程，其中．
16．已知数列的前n项和为，且，，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)设，记数列的前n项和为，证明：．
17．如图，在三棱锥中，平面平面，E是BD的中点，，，，是棱上一点．
(1)证明：；
(2)若是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知双曲线的一条渐近线方程为，点是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线，的倾斜角互补，且，求；
(3)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标．
19．已知函数的导函数为．
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若有三个不同的零点，求实数的取值范围；
(3)已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围．
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《名校交流2025届高三第六次联考数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
B
A
B
A
C
ABD
AB
题号
11
答案
ACD
1．C
【分析】先求函数的定义域求得集合，解不等