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山东省九五高中协作体2025届高三下学期质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（???）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，集合，则（???）
A． B． C． D．
3．已知实数满足，则（????）
A．11 B．12 C．16 D．17
4．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象．若的图象关于y轴对称，则的最小值为（???）
A． B． C． D．
5．已知为正项等差数列，若，则的最大值为（????）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．已知随机变量，为使在内的概率不小于（若，则)，则的最小值为（????）
A．8 B．16 C．32 D．64
7．已知，若向量与向量互相垂直，则（????）
A． B． C．5 D．
8．已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．给定一组不全相同的样本数据，关于样本数据的说法正确的是（???）
A．与原数据相比，极差一定变大
B．与原数据相比，众数一定变大
C．与原数据相比，平均数一定变大
D．与原数据相比，方差一定变大
10．已知函数，则（???）
A．有3个零点
B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条
C．与交点的横坐标之和为0
D．在区间上的值域为
11．三棱锥中，，则（????）
A．三棱锥的体积为
B．三棱锥外接球的表面积为
C．过中点的平面截三棱锥外接球所得最小截面的半径为1
D．当时，的最小值为
三、填空题
12．已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为．
13．已知分别为椭圆的左、右焦点，的离心率为，过与长轴垂直的直线交于两点，交轴于点，若，则的周长为．
14．已知正整数n，欧拉函数表示1，2，…，n中与n互素的整数的个数．例如，，．若从1，2，…，30中随机取一个数m，则满足的概率为．
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，为等边三角形，．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
16．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的取值范围．
17．甲乙二人进行比赛，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛的结果相互独立．为决出最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择：
方案一：规定每局比赛的胜方得1分，败方得0分，则首次比对手高两分的一方获胜．
方案二：首次连胜两局比赛的一方获胜．
(1)若，且采用方案一，求第四场比赛结束时恰好分出胜负的概率．
(2)若，为使甲获胜的概率更大，则应该选择哪种比赛方案？请说明理由．
附：当0q1时，．
18．已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，且的最大值为．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点P的两条直线分别交E于A，B两点和C，D两点，且AC分别是线段PB，PD的中点，设线段BD的中点为M．
（i）证明：直线轴：
（ii）求△PBD面积的最大值．
19．对集合A，B，定义集合，记为有限集合X的元素个数．以下给定正整数，并记集合
(1)设为有限集合，证明：；
(2)给定自然数和的子集，求集合的元素个数；
(3)设（其中）为正整数，的子集满足均有．证明：．
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《山东省九五高中协作体2025届高三下学期质量检测数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
B
C
C
C
D
AD
BC
题号
11
答案
ACD
1．A
【分析】设复数，根据共轭复数的定义求出，再结合已知条件列出方程组求解的值，从而得到复数，最后确定其在复平面内的位置.
【详解】设复数，则共轭复数，
因为，
列出方程组为：
求解该方程组得：.
所以复数.
在复平面内对应点坐标为，横坐标，纵坐标，
所以该点在第一象限.
故选：A.
2．A
【分析】先求解集合，再根据集合的交集、并集、补集的定义分别分析各选项.
【详解】解不等式，可得；所以集合.
对于选项A，已知集合，集合，所以，故选项A正确.
对于选项B，已知集合，集合，所以，故选项B错误.
对于选项C，已