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山西省部分学校2024-2025学年高三下学期冲刺卷（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（????）
A． B． C．i D．-i
2．已知集合，．若，则的最大值是（????）
A．2 B．-1 C．0 D．1
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量的起点和终点均在格点上，则向量在向量上的投影向量为（????）
??
A． B． C． D．
4．若是第三象限角，且，则（????）
A． B． C． D．
5．已知，则（????）
A．0 B．1 C．0或1 D．2
6．汉诺塔是一个经典的数学益智游戏，它主要由三根柱子（通常标记为甲、乙、丙）和若干个大小不同的圆盘组成．游戏规则是把甲柱上的圆盘全部移到丙柱，一次移一个且大圆盘不能放在小圆盘上．记把n个圆盘从甲柱上全部移到丙柱的最少次数为，根据游戏规则知，若，则圆盘的个数（????）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．已知函数的部分图象如图所示，A，B分别是相邻的最高点与最低点，直线AB的方程为，则（????）
A． B．
C． D．
8．如图，，分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形为等腰梯形，且．若，则双曲线C的离心率的取值范围为（????）
??
A． B． C． D．
二、多选题
9．某研究机构在训练人工智能模型时，有两种训练算法甲和乙，使用算法甲训练了30次，每次训练耗时的平均数为2，方差为0.25，使用算法乙训练了20次，每次训练耗时的平均数为1.5，方差为0.3，则（????）
A．总体每次训练平均耗时1.8小时
B．总体每次训练平均耗时1.75小时
C．总体每次训练耗时的方差为0.28
D．总体每次训练耗时的方差为0.33
10．如图，在的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化．
例如：??
下列的方格中，哪些图形可由上图经过4次移动得到（????）
A．?? B．??
C．?? D．??
11．如图，在圆柱中，轴截面ABCD是边长为2的正方形，M是以为直径的圆上一动点（异于点A，），AM与圆柱的底面圆交于点N，则（????）
A．平面
B．直线NB与直线有可能垂直
C．当N为的中点时，二面角的余弦值为
D．三棱锥的外接球的体积为
三、填空题
12．已知椭圆的离心率为，则．
13．已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为．
14．现从一含10个元素的集合的子集中随机选出2个不同的子集，被选出的子集之间必须满足包含或被包含的关系，则满足该选取条件的选法有种.
四、解答题
15．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)证明：.
(2)求.
(3)若为上靠近点的三等分点，作交于点，求.
16．如图所示，在边长为2的正方体中，分别是棱上的点（异于端点），且．
(1)证明：与相交且交点在直线上．
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．
17．某学校高三年级组织了一场校内知识竞赛，共有5个班级参与，每个班级推选1名学生代表参加，其中1名学生代表来自经常在知识竞赛中获奖的班级，以下简称A班代表，4名学生代表来自较少参与竞赛的班级，以下简称B班代表，学生甲是B班代表之一．在某一轮比赛中，随机选择两名学生代表进行比赛．若是同类班级代表比赛，则双方获胜的概率均为；若是A班代表与B班代表比赛，则B班代表获胜的概率为．
(1)已知甲参赛，求在一轮比赛中，学生甲获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，增加了挑战赛，规则是某选手可向全场所有代表随机发起挑战，与每个代表进行一轮比赛．现学生甲向全场所有人发起挑战，若与A班代表比赛获胜得2分，与B班代表比赛获胜得1分，失败均获得0分，记比赛结束时学生甲获得的积分为X，求X的分布列与期望．
18．过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，C．设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为2．
(1)求抛物线T的方程；
(2)当时，证明：直线BC过定点．
(3)设△ABC的外心E的坐标为，BC的中点M的坐标为，证明：为定值．
19．设函数的定义域为R，若实数λ满足对任意的，都有，则称满足性质．
(1)设函数，证明：满足性质．
(2)设的导函数为，且对任意的，，都有．
（ⅰ）证明：满足性质．
（ⅱ）已知数列满足，若，证明：．
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答案第