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浙江省诸暨市2024-2025学年高三下学期适应性考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合（为虚数单位），，则（????）
A． B． C． D．
2．的展开式中第三项的系数是（????）
A． B． C． D．
3．设椭圆和双曲线的离心率分别为.若，则（????）
A． B．3 C． D．
4．已知，则（????）
A． B． C． D．1
5．设等差数列的公差是为的前项和，则“”是“”的（????）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，记圆柱与球的体积之比为，表面积之比为，则（????）
A． B．
C． D．的大小不确定
7．已知函数有唯一零点，则（????）
A．0 B． C．2 D．
8．已知点在圆上运动，若过点可以作曲线的切线，则点的轨迹长度是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，内角的对边的长分别为，则下列结论中正确的是（????）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
10．正四棱柱的底面边长为2，侧棱长是的中点为，过点的平面记为，则下列说法中正确的是（????）
A．点和点到平面的距离相等
B．二面角的正切值为
C．平面截得的截面形状是五边形
D．平面截得的截面面积为
11．已知集合，若对于任意，以及任意，满足，则称集合为“一字集”，记为“一字集”，则下列说法正确的是（????）
A．
B．
C．若，且，则
D．若，则
三、填空题
12．若成等比数列，则实数.
13．从编号的三张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为.
14．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为.
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面.
??
(1)证明：；
(2)若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值.
16．为了研究DeepSeek（AI学习助手）对学生数学成绩的影响，将20名学生均分为两组，分别为使用组（使用DeepSeek）和非使用组.一段时间后，测得20名学生的数学成绩变化如下（单位：分）：
使用组
1
1
2
2
3
3
3
4
非使用组
0
0
1
1
2
3
(1)从使用组中随机抽取两名学生，设其中成绩进步的人数为，求的分布列和数学期望；
(2)求20名学生数学成绩变化的中位数，并分别统计两组中低于与不低于的人数，完成如下列联表：
低于
不低于
总计
使用组
非使用组
总计
(3)根据（2）中的列联表，能否有的把握认为使用DeepSeek与数学成绩变化有显著关联？
附：，其中.
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
17．已知抛物线，点，直线交抛物线于两点，满足，点在直线上的投影点记为点.
(1)当轴时，求的值；
(2)当时，求点的轨迹方程.
18．已知函数有两个极值点，满足.
(1)求的取值范围；
(2)判断并证明函数的对称性；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
19．设矩形的周长为，记，把沿过的对角线向点方向折叠，直线折过去后交直线于点，并得到矩形，记这个过程为一次折叠操作.当两个矩形都在的同侧时，称为同侧操作（如图1）；否则称为异侧操作（如图2）.若多次折叠，则每次都为新得到的矩形沿着过的对角线向点折叠.
(1)若点在线段上，求的最大面积及此时的值；
(2)当时，若矩形是由矩形同侧折叠2025次所得，求的长度；
(3)将矩形同侧折叠次得到矩形，再将矩形折叠次得到.若存在，使得成立.记满足条件的的取值集合为.定义集合的“长度”记为，例：证明：.
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《浙江省诸暨市2024-2025学年高三下学期适应性考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
B
C
A
C
D
BD
ABC
题号
11
答案
ACD
1．D
【分析】根据虚数的性质可化简，即可由交集的定义求解.
【详解】,故，
故选：D
2．C
【分析