华航教育·一对一课外辅导
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第二章平面向量
2.1平面向量的实际背景及基本概念
【知识点归纳】
1.平面向量的概念：
2.向量的表示：
（常见的2个向量）
3.相等向量与共线向量：
【典型例题】
题型一向量的基本概念
例1.给出下列命题：
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②两个单位向量是相等向量；③若a=b,b=c,则a=c；
④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；
⑤若|a|=|b|,则a=b。=6\*GB3⑥若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
其中正确命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例2下列命题正确的有
①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
③向量a与ｂ不共线，则a与ｂ都是非零向量
④有相同起点的两个非零向量不平行
题型二向量的表示
例3.一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点,然后又改变方向,向西偏北45°走了200km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100km到达D点.(1)作出向量,,;(2)求
题型三相等向量与共线向量
例4如图，设是正六边形的中心，分别
写出图中与向量，，相等的向量，共线的向量。
题型四利用向量解决多点共线的问题
例5.如图，四边形ABCD中，，P,Q是AD，BC上的
点，且,求证：
综合练习：
1.下列命题中，正确的是（）
A.若|a|=|b|，则a=bB.若a=b,则a与b是平行向量
C.若|a||b|,则abD.若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量
2.下列说法中错误的是（）
A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的
3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是
4.已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b关系是.
5.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定.
6.判定下列命题的正误：
①零向量是惟一没有方向的向量。（）
②平面内的单位向量只有一个。（）
③方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量。（）
④向量a与b是共线向量，b∥C,则a与c是方向相同的向量。()
⑤相等的向量一定是共线向量。()
7.下列四个命题中，正确命题的个数是
共线向量是在同一条直线上的向量
若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点
与已知非零向量共线的单位向量是唯一的
④若四边形ABCD是平行四边形，则与，与分别共线.
题型四向量的加减法综合运用
例6.设两个非零向量、不是平行向量
（1）如果=+，=2+8，=3()，求证A、B、D三点共线；
（2）试确定实数的值，使+和+是两个平行向量．
例7.已知O是ABCD的对角线AC与BD的交点,若=a,=b,=c,试证明:c+a-b=.
综合练习：
1.下列命题正确的有
①单位向量都相等②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
③若a，b满足|a||b|且a与b同向，则ab
④对于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|
2.以下四个命题中不正确的有
①若a为任意非零向量，则a∥0②|a+b|=|a|+|b|
③a=b，则|a|=|b|，反之不成立④任一非零向量的方向都是惟一的
3.已知，则的取值范围为
4.设（+）+（+）=,≠,则在下列结论中，
正确的有
①∥;②+=;③+=;④｜+｜＜｜｜+｜｜
5.化简
6.如图，在四边形ABCD中,根据图示填空:
a+b=,b+c=,c-d=,a+b+c-d=.
2.3平面向量
2.3.1平面向量基本定理
【知识点归纳】
1.平面向量的基本定理：
2.向量的夹角：
【典型例题】
题型一基底的判定
例1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()
A.e1、e2一定平行