2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛江苏赛区预赛
一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.方程xlog4x=x
2.设等差数列{an}的公差为d，S?是其前n项和.已知a2025=
3.设z为复数，i为虚数单位.若z-1z+1
4.2
5.在平面直角坐标系xOy中，F?，F?分别是双曲线x2a2-y2b2=
6.在四边形ABCD中,.AB=AC=CD=1
7.在△ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,点I为△ABC内心.设α,β∈R,若CI=α?C
8.甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球.甲乙两人每次交换1个球，经过四次交换后，黑球仍然在甲的概率为▲.
9.已知△ABC的面积为2,AB=2,则CBCA的范围为▲
10.如图,函数.fx=e2-e+1
11.设τ(d)表示正整数d的所有正因数的个数，例如6有4个正因数：1，2，3，6，则τ6=4.设fn=
f6=
则f(100)的值为▲.
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12.设函数f(x)定义在0+∞上，f2=0,fx≥0,，且当
二、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13.设A,B,C为△ABC的三个内角，求sin
14.如图，在圆内接四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，满足DE=BF.若∠
15.设数列an满足：a1
证明:当n≥2时,12n+
16.有9支队伍进行单循环赛(任意两队之间进行一场比赛).在比赛了一阶段后进行统计，发现任意3支队伍之间最多进行了两场比赛，求此时这9支队伍之间的比赛总场次的最大值，并说明理由.
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2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛江苏赛区预赛参考解析
一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.方程xlog1x=x
解:{2,8}.
2.设等差数列{an}的公差为d，S?是其前n项和.已知(a2025=
解:2.
3.设z为复数，i为虚数单位.若z-1z+1的实部为0，则∣
解:6.
4.2
解：3.
5.在平面直角坐标系xOy中，F?，F?分别是双曲线x2a2-y2b2=1ab0)的左、右焦点，P是双曲线右
6.四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,BC=2,A
解：18.
7.△ABC中,.AB=5,BC=3,CA
解：111
8.甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球.甲乙两人每次交换1个球，经过四次交换后，黑球仍然在甲的概率为.
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解：418
9.已知△ABC的面积为2,AB=2,则CBCA的范围为
解：5-1
10.如图,函数.fx=ex-e
解：2e-
11.设τ(d)表示正整数d的所有正因数的个数，例如6有4个正因数：1，2，3，6，则τ6=4.设fn=
f6=
则f(100)的值为.
解:36.
12.设函数f(x)定义在[0,+∞)上,.f2=0,fx≥0,,且当0≤x2时,
解:11.
二、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13.设A,B,C为△ABC的三个内角,求sin2A+
解:由A+B+C=π知(cos2C=
sin2A
=1-
=32
…………(5分)
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=32
=---cos2(A+B)--cos(A--B)cos(A+B)+2
=-cos
……………(10分)
≤sl
当且仅当cosA-B=1,cosA
…………(15分)
14.如图，在圆内接四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，满足DE=B
证:由A,B,C,D共圆知∠ADE=∠ADB=∠ACB.
由已知∠DAE=∠CAB,所以△AED∽△ABC.
于是ADA
…………(5分)
由已知ED=BF,所以ADA
再由A,B,C,D共圆知∠DAC=∠FBC,所以△DAC∽△FBC.
…………(10分)
于是∠DCA=∠FCB.
进而∠DCA+∠ACF=∠ACF+∠FCB,即∠DCF=∠ACB.
…………(15分)
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15.设数列an满足：a1
证明：当n≥slan
证：由题设可知a1=
当n≥slant
因此1an
…………(5分)
于是，当n≥sl
1an
=1+
=2n
≥2n
由此an+
…………(10分)
另一方面，a3=1
1an
≤sl
2+
=2+
于是当n≥2时，皆有an+
…………(