《必修4》
第二章平面向量
一、知识纲要
1、向量的相关概念：
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，记为或。向量又称矢量。
注意①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。
（2）向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。
记作：||或｜｜。
注意向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
（3）零向量：长度为0的向量叫零向量，记为，零向量的方向是任意的。
注意①｜｜＝0；②与0的区别：写法的区别，意义的区别。
（4）单位向量：模长为1个单位长度的非零向量叫单位向量。
注意若向量是单位向量，则｜｜=1。
2、向量的表示：
（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意：方向是“起点指向终点”。
（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；
（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴正方向相同的两个单位向量、为基底向量，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。此时｜｜=。
若已知，则，即终点坐标减去起点坐标。
特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。
3、向量之间的关系：
（1）平行（共线）：对于两个非零向量，若它们的方向相同或相反的，那么就称这种关系为平行，记作∥。换言之，方向相同或相反的两个非零向量叫平行向量（共线向量）。
相互平行的两个向量之间的夹角为0度或180度，记为,=00或1800。
由于向量可以进行任意的平移(所以向量又叫自由向量)，所以平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
注意①数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。②规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。③平行向量无传递性（因为有).
（2）不平行：对于两个非零向量和，如果平移后它们的夹角不是0度或180度，则称这两个向量不平行。
此时，它们夹角的范围是,（0，）。
特别的，当,=（即900）时，称为两个向量垂直，记为。
4、由向量之间的关系引出的术语：
（1）同向向量：如果两个向量方向相同（即：共线并且夹角为0度），那么就称这两个向量是同向向量。,=0
（2）反向向量：如果两个向量方向相反（即：共线并且夹角为180度），那么就称这两个向量是反向向量。,=
注意：同向向量和反向向量都是共线向量。并且只考虑方向，不研究模长的大小关系。
（3）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，记为。
注意：①相等向量经过平移后总可以重合，是同向向量的升级版。
②相等向量的坐标体现为：
8、向量的夹角
已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角，记为。
注意①研究向量夹角时，必须将两个向量的起点移动到同一点上；
②当且仅当两个非零向量与同方向时，
③当且仅当与反方向时
④与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
⑤cos==
⑥向量夹角与数量积的关系：
当为锐角时，＞0（反之不成立，因为数量积为正数的两个向量不一定构成锐角，可能是平行且同向）；当为钝角时，＜0。（反之不成立，因为数量积为负数的两个向量不一定构成钝角，可能是平行且反向）
9、平面向量的基本定理
如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
若给定一组基底向量，则平面内的任何一个向量都存在一组实属对与之对应，当这组基底是两个相互垂直的单位向量时，这组基底可以构成一个系统，这个系统叫平面直角坐标系，与向量对应的实数对就是坐标。
10、向量垂直（共线）的基本定理
（1）共线：∥，此为向量平行的符号表达。
若，则或，此为向量平行的坐标表达。
注意对于“∥”，当时，可以看成是非零向量的0倍（即），所以规定“零向量与任何非零向量平行”。
（2）垂直：非零向量满足：，此为向量平行的符号表达。
若，则，此为向量平行的坐标表达。
即：两个向量非零向量垂直等价于这两个向量的数量积为0。
若中有一个向量是零向量，则数量积一定为0，此时无需讨论是否垂直。所以规定“零向量与任何非零向量平行”，但是不规定“零向量与