第二节参数方程
;1.参数方程的概念;考点一参数方程与普通方程的互化;1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C上①任意一点????P的坐标x,y
都是某个变数t的函数?并且对于t的每一个允许值,由?所
确定的点P(x,y)都在②曲线C上????,那么?叫做这条曲线的参数
方程,变数t叫做参变数,简称③参数????.
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做④普通方程???.;2.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程;1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“?”)
(1)参数方程?中的x,y都是参数t的函数.?(√)
(2)过M0(x0,y0),倾斜角为α?的直线l的参数方程为?(t为
参数).参数t的几何意义表示:直线l上以定点M0为起点,任一点M(x,y)为
终点的有向线段M0M的数量.?(√)
(3)方程?(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心,2为半径的圆.(????√);2.已知曲线C的参数方程是?(t为参数,a∈R),点M(-3,4)在曲线
C上.
(1)求常数a的值.
(2)判断点P(1,0),Q(3,-1)是否在曲线C上?;解析(1)将M(-3,4)的坐标代入曲线C的参数方程?得?
消去参数t,得a=1.
(2)由(1)可得,曲线C的参数方程是?
把点P的坐标(1,0)代入方程组,解得t=0,因此P在曲线C上,把点Q的坐标
(3,-1)代入方程组,得到?该方程组无解,因此点Q不在曲线C上.;3.直线l:?(t为参数)与曲线C:x2+y2=2x+2y交于A,B两点,与y轴交
于点E,求|EA|+|EB|.;典例1已知直线l的参数方程为?(t为参数),圆C的参数方程为
?(θ为参数).
(1)求直线l和圆C的普通方程;
(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.;解析(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,
圆C的普通方程为x2+y2=16.
(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=?≤4,
解得-2?≤a≤2?.;方法技巧
消去参数的方法一般有三种
(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数.
(2)利用三角恒等式消去参数.
(3)根据参数方程本身的结构特征,灵活地选用一些方法,从整体上消去
参数.;1-1将下列参数方程化为普通方程.
(1)?(t为参数);
(2)?(θ为参数).;解析(1)t2-1≥0?t≥1或t≤-1?0x≤1
或-1≤x0.
将x=?代入y=??,得x2+y2=1.
?或?
(2)由(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=2-(1-sin2θ),
得y2=2-x.又x=1-sin2θ∈[0,2],
故所求的普通方程为y2=2-x,x∈[0,2].;典例2????(2018课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方
程为?(θ为参数),直线l的参数方程为?(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.;解析(1)曲线C的直角坐标方程为?+?=1.
当cosα≠0时,l的直角坐标方程为y=tanα·x+2-tanα,
当cosα=0时,l的直角坐标方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t
2+4(2cosα+sinα)t-8=0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,
所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.;1.直线方程中参数t的几何意义的应用
经过点P(x0,y0)且倾斜角为α的直线l的参数方程为?(t为参
数).若A,B为直线l上的两点,其对应参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,
点M对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到:
(1)t0=?;
(2)|PM|=|t0|=?;;(3)|AB|=|t1-t2|=|t2-t1|;
(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|.;2-1????(2018重庆质量调研(一))在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程
为?(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos?=3?.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)若点M在曲线C1上,点N在曲线C2上,求|MN|的最小值及此时点M的直
角坐标.;解析(1)由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为?+?=1,由ρ
cos?=3?,得ρcosθ-ρsinθ=6,
∴曲线C2的直角坐标方程为x-y-6=0.
(2)设点M的坐标为(3cosβ,?sinβ),
点M到直线x-y-6=0的距离d=?=?