抽象形成概念?运算演绎意义
【摘要】数学概念是经过多级抽象得到的，是“数学化”的效果。教学抽象的数学概念需要回到情景中“找意义”。分数的定义是发生式的，可以用整数的运算演绎分数的意义，通过运算与推理建立模式，实现数学概念的符号化与一般化。小学数学中学习的分数应用题都可以归纳为“求一个数的几分之几是多少”的问题，解决这些问题正是以分数意义的理解作为基础的。
【关键词】分数意义数学化数学抽象发生式定义
数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律。数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象是形成数学概念的基本过程，许多数学概念是从实际生活中通过理想化的形式抽象出来的，学生学习这些概念的有效方式就是“重蹈”这个抽象的过程。
即便是从现实生活或具体情境开始，经由多级抽象后得到的也往往是形式概念，这个过程弗赖登塔尔称为“数学化”的过程。学生在初步获得形式概念后，为了强化对概念的理解，并在问题解决过程中应用概念，还应当经历一个重新寻找意义的过程。“数学化”与“找意义”是互逆的过程，是数学教学中的基本活动，其中“数学化”是弗赖登塔尔提出的数学教学的基本原则之一。
浙教版数学三年级下册安排了学习分数的初步认识，四年级下册安排了学习分数与除法，五年级下册安排了学习分数的意义与性质。其中，分数的意义这部分教材中设计了三个教学的层次。
第一个层次是以长方形作为单位“1”的几何直观，利用分数与除法共享平均分概念的便利，理解单位“1”的均分得到分数单位，几个分数单位的复合得到分数，并把这个意义表示为“先除再乘”的运算过程，如图1。
第二个层次是把单位“1”假设为不同的数量，通过具体的运算和推理理解分数的实际意义，并在不同情境的比较中初步感知分数的“无量纲性”，如图2。
第三个层次是从不同的例子中概括出抽象的单位“1”，归纳出分数的一般意义，并用字母符号的运算表征这个过程，形成抽象的分数模型，如图3。
以上三个层次是“数学化”与“找意义”相互交融的过程。第一个层次是抽象结构，即把抽象的数学符号具体化，用几何直观表示其意义，并结合数学运算解释意义的发生过程；第二个层次是符号运算，即把单位“1”表示为不同的数量，通过数学运算演绎分数的具体意义；第三个层次是模型构建，即通过形式推理得到分数的一般意义，其中的形式推理既包括从具体情境中归纳出抽象的单位“1”，也包括运用字母进行形式运算，演绎分数一般意义的过程。
通过具体的运作理解抽象的概念，在抽象与具体之间形成联系与解释的回路，是新思维数学分数意义教学最重要的特色。运算演绎意义，既可以增进学生对分数意义的理解，也有利于培养学生数学抽象的核心素养。
下面介绍这节课的教学环节，着重于数学抽象和数学运算的过程。按照感知与识别、分类与概括、想象与建构、定义与表征等四个环节展开。
一、感知与识别
分数与整数、小数一样，都是若干个计数单位累加的结果。把分数与整数、小数进行联系与比较，可以突出计数单位在数的构成中的重要性，有利于学生理解若干个分数单位累加得到分数的过程。
师：老师在黑板上写三个数—30、0.3、，你们说说它们有什么不同与相同。
生：30是自然数，0.3是小数，是分数。
生：它们都有数字3。
师：没错，每个数里都有“3”。这些“3”表示的意义一样吗？
生：30里的3表示3个十，0.3里的3表示3个0.1，里的3表示3个。
师：今天我们学习分数的意义。表示什么意思，你们知道吗？
生：把一个物体平均分成5份，表示这样的3份。
生：把20个苹果平均分成5份，表示这样的3份。
师：你们举的例子很好，有的是把一个物体平均分，也有的是把一些物体平均分。能不能画一幅图，把你们心里想的表示出来？
学生独立画图，教师选择部分作品展示交流。
（数学概念的形成是从特殊开始的，以这个分数为例，引导学生解释其含义，理解意义的“多样性”。数学概念的思维是从直觉开始的，画图表示就是按照定义的语义表示这个分数，把抽象的意义“过程化”。“多样性”和“过程化”为抽象概念提供了丰富的素材与思维的便利。）
二、分类与概括
抽象必须关注研究对象的共性，数学抽象就是用数学的眼光去观察。首先是识别事物间的相似性，然后通过分类把有共同属性的数学对象放在一起，把这些对象中具有相似性的特征概括出来，形成抽象的数学概念。
师：（同时展示学生的四幅作品，作品略）请同学们观察这些作品，它们都画得正确吗？
生1：正确。
师：选择一幅图来说一说，它是如何表示的？
生2：把一条线段平均分成5份，其中的3份是。
生3：把5支铅笔平均分成5份，其中的3支是。
生4：把长方形平均分成5份，涂色的有3份，是。
生5：我想以生活中