数学抽象能力的表现水平划分与进阶条件探索
【摘要】数学抽象能力主要包括数感、量感、符号意识，是培养学生数学思维的基础。以“长方形面积公式”抽象为例，分别以不断改进的三种学习路径为干预条件，研究了相应条件下数学抽象能力的表现水平划分，得到了表现水平的稳定结构。总结其条件是五次度量和二维抽象，关键在于用核心概念、基本原理与方法统领新知探索、释疑解难的全过程，凸显知识建构的整体性与一致性。在干预条件不足时，稳定的结构具有可变性，即一个表现水平将分化为若干个水平，进而提出展开表现水平划分与进阶条件研究以及促进进阶的教学建议。
【关键词】表现水平；关键能力；数学抽象能力；长方形面积
一、引言
数学抽象能力主要包括数感、量感、符号意识，是培养学生数学思维的基础。如何发展学生的数学抽象能力，需关注两个基本问题：一是数学抽象是如何逐步形成的，具体有哪些不同的发展水平？二是如何促进水平进阶，其条件和策略是什么？本研究选取“长方形面积公式”抽象过程作为研究对象。研究中区分了两种不同性质的抽象：一种是量性抽象，即通过对具体数量的抽象，从而得到结论。如通过用1平方厘米作为度量单位来测量不同整厘米长、宽的长方形面积，抽象出结论。另一种是质性抽象，即通过对不同类型的数学问题或同一问题下的不同情境的抽象，从而得到结论。“长方形面积公式”的抽象过程应包含量性抽象和质性抽象这两个阶段。
本内容的教学，实质上是运用面积、面积单位、度量等核心概念和基本方法解决长方形面积的计算问题，即从用面积单位度量长方形面积的活动中，抽象出一行摆几个、摆几行以及与长、宽之间的关系，从而得到计算公式及其特例和适用条件。其中包括三个子问题：①长方形面积的计算公式及算理。②正方形面积的计算公式及算理。③公式的适用条件，包括长、宽单位要统一的原因。
解决子问题①，首先需要确定相关变量，即长方形的面积与哪些因素有关。其次要研究变量之间的关系，即通过抽象得到公式。
解决子问题②，有两条路径：一是利用正方形是特殊的长方形，通过从一般到特殊的推理得出公式；二是用面积单位度量，通过抽象得到公式。从教学实践来看，许多学生尚未理解从一般到特殊的推理过程。尽管教师反复强调正方形是特殊的长方形，但学生仍然固执地认为正方形与长方形是不同的图形——长方形邻边长度不相等，而正方形邻边长度相等。因此，面积的计算方法也应当不同。教学中应同时采用这两条路径，以相互印证，满足不同认知水平学生的学习需求。
解决子问题③，可以从两方面入手：一是在解决前两个问题的过程中，引导学生理解长、宽单位与面积单位的一致性，但这种方法往往难以留下深刻印象；二是通过反例辨析来理解一致性，这种方法更容易给学生留下深刻印象。以问题“长方形的长3米、宽20分米，它的面积是多少”为例，如果将20分米转换为2米，可以用1平方米来度量面积，得到3×2=6（平方米）；如果将3米转换为30分米，可以用1平方分米来度量面积，得到30×20=600（平方分米）；如果直接列出3×20=60，就必须用长1米、宽1分米的长方形作单位进行度量，而数学中并不存在这样定义的面积单位。根据对54位教师的调查结果显示，大多数教师并未深入思考为什么要统一长、宽单位，而是普遍采用直接告知并反复强调的方法进行教学。
笔者根据上述三个子问题的分析，对国内现行各版本教材的处理情况进行统计，具体情况如表1所示。
除了沪教版教材将教学内容安排在三年级上册外，其他版本教材都安排在三年级下册。关于子问题①，各版本教材都采用了基于1平方厘米度量得出公式的方法。其中，沪教版教材采用先认识1平方厘米导出公式，再认识1平方米再次导出公式的方法，旨在实现从量性抽象到质性抽象的过渡。子问题②的处理主要采用演绎推导，北师大版教材采用了两种方法。苏教版、北京版教材出现了字母公式。子问题③普遍被忽视，仅在相关习题和配套作业本中出现，但未进行深入辨析。这样处理的效果如何？如何更好地促进学生数学抽象的发展？这些问题需要进一步研究。
二、研究设计
（一）研究对象
本研究基于三年级第一学期学生的学业测试情况，选取杭州市上城区3所小学6个班的三年级第二学期学生为研究对象，分为A、B、C三组，每组包含2个班级，分别有64、68、70名学生。实验前，对三个组的学生进行了前测，试题内容分为两部分：一是已学知识的掌握情况，包括面积与面积单位的认识、面积单位的换算与应用、用1平方厘米度量图形面积；二是对新知识的了解情况，包括长方形面积的相关变量、公式及其推导方法。对两部分的得分情况进行了统计分析，结果显示三组研究对象在统计学上无显著性差异。
（二）研究步骤
研究的具体步骤如图1所示。
（三）问卷及数据收集
后测试题①长方形的面积大小与它的什么有关？②一个长、宽单位同为厘米的长方形面积计算并说明理由。③表格呈现几组长、宽同为整厘