关于方向导数与梯度第1页，共34页，星期日，2025年，2月5日一、方向导数的定义讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．第2页，共34页，星期日，2025年，2月5日当沿着趋于时，是否存在？第3页，共34页，星期日，2025年，2月5日记为方向导数的几何意义第4页，共34页，星期日，2025年，2月5日过直线作平行于z轴的平面与曲面z=f(x,y)所交的曲线记为C表示C的割线向量即即割线转化为切线第5页，共34页，星期日，2025年，2月5日上式极限存在就意味着当点趋于点曲线C在点P0有唯一的切线它关于方向的斜率就是方向导数LCM0TP0PMl第6页，共34页，星期日，2025年，2月5日证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到第7页，共34页，星期日，2025年，2月5日故有方向导数第8页，共34页，星期日，2025年，2月5日解第9页，共34页，星期日，2025年，2月5日解由方向导数的计算公式知故第10页，共34页，星期日，2025年，2月5日推广可得三元函数方向导数的定义第11页，共34页，星期日，2025年，2月5日解令故方向余弦为第12页，共34页，星期日，2025年，2月5日故第13页，共34页，星期日，2025年，2月5日二、梯度的概念第14页，共34页，星期日，2025年，2月5日第15页，共34页，星期日，2025年，2月5日在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图梯度为等高线上的法向量等高线第16页，共34页，星期日，2025年，2月5日等高线的画法第17页，共34页，星期日，2025年，2月5日例如,第18页，共34页，星期日，2025年，2月5日等高线图举例这是利用数学软件Mathematica绘制的曲面及其等高线图,带阴影的等高线图中,亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影的等高线图第19页，共34页，星期日，2025年，2月5日梯度与等高线的关系：第20页，共34页，星期日，2025年，2月5日此时f(x,y)沿该法线方向的方向导数为故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。第21页，共34页，星期日，2025年，2月5日梯度的概念可以推广到三元函数类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.第22页，共34页，星期日，2025年，2月5日第23页，共34页，星期日，2025年，2月5日解由梯度计算公式得故第24页，共34页，星期日，2025年，2月5日