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文档摘要

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《高考数学综合复习》

《导数》篇

导数中的极值点偏移问题

一、基本概念

极值点偏移是指函数在其极值点左右两侧的增减速度不同，导致极值点位置偏离两零点

中点的现象。在高考数学中常常作为导数解答题的最后一问，以证明题的形式进行考查。是

否偏移及偏移判断方向如下：

（1）无偏移：二次函数2的顶点（极值点）位于两根中点，满足对称性；

fxax?bx?c

??

（2）左偏：若函数在极值点左侧变化更快，则x?x?2x（如fxxe?x）；

120??

（3）右偏：若右侧变化更快，则x?x?2x（如fxlnx?x）。

120??

二、判定方法

1.导数单调性法：

若fx?在左侧递增更快（左陡右缓），极值点左偏；

??

若fx?在右侧递增更快（右陡左缓），极值点右偏。

??

2.中值比较定理：

x?x

对于方程的两根和，若或12，则存在偏移。

fxbxxx?x?2x?x

??121200

2

三、解题策略与模板

（一）对称构造法：

1.适用类型：

对于要求证明x?x?2x和x?x?2x两类问题，可以利用此方法。

120120

xx

11

而对于（）或?m（?m）类型的证明问题，可以借助对数

xx?mxx?m

1212

xx

22

x

（lnx?lnxlnxx和lnx?lnxln1）进行化简后，再利用此方法进行解决，也

121212

x

2

可以利用“（差）比值代换法”进行解决。

1

2.步骤：

x

（1）求导分析：确定fx的单调区间和极值点。

??0

（2）构造函数：如Fxfx?f2x?x，通过比较Fx的符号判断偏移方向。

?????0???

若Fx?0，则x?x?2x；

??120

若