设将积分区间[a,b]n等分，即分成n个子区间，一共有n+1个节点，即xk=a+kh,k=0,1,…，n,步长.对于某个子区间,利用梯形公式计算积分近似值有对整个区间[a,b]有第63页，共120页，星期日，2025年，2月5日将子区间再二等分,取其中点作新节点,此时区间数增加了一倍为2n,对某个子区间,利用复化梯形公式计算其积分近似值.对整个区间[a,b]有比较和有(4.11)(4.11)式称为变步长梯形公式第64页，共120页，星期日，2025年，2月5日当把积分区间分成n等份，用复化梯形公式计算积分I的近似值时，截断误差为若把区间再分半为2n等份，计算出定积分的近似值，则截断误差为当在区间[a,b]上变化不大时,有所以第65页，共120页，星期日，2025年，2月5日可见,当步长二分后误差将减至原来的将上式移项整理，可得验后误差估计式上式说明，只要二等份前后两个积分值和相当接近，就可以保证计算结果的误差很小，使接近于积分值I.(4.12)第66页，共120页，星期日，2025年，2月5日变步长的梯形求积算法实现（1）变步长的梯形求积法的计算步骤①变步长梯形求积法.它是以梯形求积公式为基础，逐步减少步长，按如下递推公式求二分后的梯形值其中Tn和T2n分别代表二等分前后的积分值②如果,(ε为给定的误差限)则T2n作为积分的近似值,否则继续进行二等分,即转①再计算，直到满足所要求的精度为止，最终取二分后的积分值T2n作为所求的结果第67页，共120页，星期日，2025年，2月5日（2）变步长梯形公式的流程图第68页，共120页，星期日，2025年，2月5日例4.9用变步长梯形求积法计算定积分解:先对整个区间?0,1?用梯形公式,对于所以有然后将区间二等分,由于故有进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值第69页，共120页，星期日，2025年，2月5日有这样不断二分下去，计算结果如P88列表所示.积分的准确值为0.9460831，从表中可看出用变步长二分10次可得此结果.第70页，共120页，星期日，2025年，2月5日变步长梯形求积法算法简单，但精度较差，收敛速度较慢，但可以利用梯形法算法简单的优点，形成一个新算法，这就是龙贝格求积公式.龙贝格公式又称逐次分半加速法.4.3.2Romberg公式第71页，共120页，星期日，2025年，2月5日根据积分区间分成n等份和2n等份时的误差估计式可得所以积分值的误差大致等于,如果用对进行修正时，与之和比更接近积分真值,所以可以将看成是对误差的一种补偿,因此可得到具有更好效果的式子.第72页，共120页，星期日，2025年，2月5日考察与n等分Simpson公式之间的关系.将复化梯形公式梯形变步长公式代入表达式得故这就是说，用梯形法二分前后两个积分值和作线性组合，结果却得到复化Simpson公式计算得到的积分值.第73页，共120页，星期日，2025年，2月5日再考察Simpson法.其截断误差与成正比，因此，如果将步长折半，则误差减至，即有由此可得可以验证,上式右端的值其实等于Cn，就是说，用Simpson公式二等分前后的两个积分值Sn和S2n作线性组合后，可得到Cotes公式求得的积分值Cn，即有(4.14)第74页，共120页，星期日，2025年，2月5日用同样的方法，根据Cotes公式的误差公式，可进一步导出Romberg公式(4.15)在变步长的过程中运用(4.13)、(4.14)和(4.15)，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的Simpson值Sn、Cotes值Cn和Romberg值Rn；或者说，将收敛缓慢的梯形值序列Tn加工成收敛迅速的龙贝格值序列Rn，这种加速方法称为Romberg算法(Romberg公式).第75页，共120页，星期日，2025年，2月5日4.4.3龙贝格求积法算法实现龙贝格求积法计算步骤用梯形公式计算积分近似值按变步长梯形公式计算积分近似值将区间逐次分半,令区间长度计算③按加