专题10“同构法”妙解导数题答案解析
【专题探究】
例1【解析】设f(x)=ln(1+x)?x(x?1)，因为
当x∈(?1,0)时，f(x)0，当
所以函数fx=ln1+x?x在
所以f(19)f(0)=0，所以ln109
所以f(?110)f(0)=0，所以ln910+1
设g(x)=xex+
令?(x)=ex(
当0x2?1时，?
当2?1x1时，?(x)0
又?0=0，所以当0x2
所以当0x2?1时，g
所以g(0.1)g(0)=0，即0.1e0.1
故选C.
练1【解析】构造函数fx=lnxx
当0xe时，fx0
当xe时，fx0，此时函数f
对于A选项，f3fe，即ln3
可得3ee3，又因为e33
对于B选项，fπfe，即lnππ
在fx≤1e中，令x=e
故elnπ
所以elnπ3，即lnπelne3
对于C选项，因为lnπ2?eπ，则3lnπ6?3eπ6?eπ
对于D选项，因为f3fπ，即ln33
所以，π33π，又∵3e
故选ABD
练2（多选）【解析】因为正数α，β满足eα
所以eα?12α+sin
令gx=2x+sinx，
所以gx在(0,+∞)上单调递增，且g
由复合函数的单调性可知?12x+sin
所以f(x)=ex?12x+sinx
对于A，由αβ，可得α?β+11，所以2α?β+12，故
对于B，由αβ0，可得lnαlnβ，则lnα+αlnβ+β
对于C，1α+1β(α+β)=2+
对于D，由αβ0，可得eαeβ0，1α
故选ACD.
例2【解析】（1）∵fx=ex
∵f1=e+1，∴切点坐标为(1,1+
∴函数fx在点(1,f(1)处的切线方程为y?e?1=(e?1)(x?1),即y=
∴切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(?2
∴所求三角形面积为12
（2）［方法一］【最优解】：同构法
由fx≥1得ae
而lnx+x=e
令?(m)=em+m，则?
由elna+x?1+lna+x?1≥e
所以lna+x?1≥ln
令F(x)=lnx?x+1
所以当x∈0,1时，F
当x∈(1,+∞)时，F
所以[Fx]max=F1
所以a的取值范围为a≥1．
［方法二］：换元同构法
由题意知a0,x0，令aex?1=t，所以ln
于是f(x)=ae
由于f(x)≥1,t?ln
而y=x+lnx在x∈(0,+∞)时为增函数，故
即aex?1≥x，
令g(x)=xex?1
当0x1时，g(x)0,g(x)单调递增；当x1时，
所以当x=1时，g(x)=xex?1取得最大值为g(1)=1
［方法三］：
因为定义域为(0,+∞)，且fx≥1，所以f(1)≥1，即
令S(a)=a+lna，则S(a)=1+1
因为S(1)=1，所以a≥1时，有S(a)≥S(1)，即a+ln
下面证明当a≥1时，fx
令T(a)=aex?1?lnx
因为T(a)=ex?1+1a
因此要证明a≥1时，T(a)≥1恒成立，只需证明[Ta
由ex≥x+1,ln
上面两个不等式两边相加可得ex?1?lnx≥1
当0a1时，因为f(1)=a+lna1
所以a的取值范围为a≥1．
［方法四］：通性通法∵f(x)=aex?1?lnx
设g(x)=f(x),则gx=aex?1+
即fx在
当a=1时，f(1)=0,∴fxmin
当a1时，1a1，∴e
∴存在唯一x0∈1a,1，使得f
当x∈x0,+∞时f(x)0
因此f(x
=1
∴fx1,∴
当0a1时，f(1)=a+lnaa1,
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
练3【解析】解：(1)函数f(x)=x?eax，x0
当a≥0时，f′(x)0，所以函数fx在0,+∞
当a0时，由f′(x)0得0x?12a，由f′(x)0得x?12a，则fx
(2)因为a0，且当x∈0,+∞时，不等式(
当0x≤1时，?a0，(eaxx
当x1时，(eaxx)2a?lnx
令g(x)=2ax+lnx，原不等式等价于
而g′(x)=2a+1x0，即函数g(x)在(0,+∞)
即?x1,ax≥lnx?a≥lnxx，
当1xe时，?′(x)0，当xe时，?′(x)0，
所以函数?(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
所以?(x)max=?(e)=1e
所以实数a的取值范围是[1
例3【解析】(1)fx的定义域为0,+∞．由fx=x1?
当x=1时，fx=0；当x∈0,1时fx0
故fx在区间(0,1)内为增函数，在区间(
(2)[方法一]：【最优解】：同构法:由blna?a
所以lna+1a=ln
于是命题转换为证明：2m+ne．
令fx=x1?lnx
由（1）知0m1,1ne，先证m+n2．
要证：m+n2?n2?m1?f
?fm?f2?m
则gx
∴gx在区间0,1内单调