§2传染病模型§3战争模型§4最优打鱼问题§1微分方程模型微分方程模型第1页
§1微分方程模型一、微分方程模型建模步骤在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中许多系统，有时极难找到该系统相关变量之间直接关系——函数表示式，但却轻易找到这些变量和它们微小增量或改变率之间关系式，这时往往采取微分关系式来描述该系统——即建立微分方程模型。我们以一个例子来说明建立微分方程模型基本步骤。第2页
例1某人食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗热量大约是69（焦/千克?天）乘以他体重（千克）。假设以脂肪形式贮藏热量100%地有效，而1千克脂肪含热量41868（焦）。试研究此人体重随时间改变规律。第3页
模型分析在问题中并未出现“改变率”、“导数”这么关键词，但要寻找是体重（记为W）关于时间t函数。假如我们把体重W看作是时间t连续可微函数，我们就能找到一个含有微分方程。第4页
模型假设1.以W(t)表示t时刻某人体重，并设一天开始时人体重为W0。2．体重改变是一个渐变过程。所以可认为W(t)是关于连续t而且充分光滑。3．体重改变等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后净食量吸收；输出就是进行健身训练时消耗。第5页
模型建立问题中所包括时间仅仅是“天天”，由此，对于“天天”体重改变=输入-输出。因为考虑是体重随时间改变情况，所以，可得体重改变/天=输入/天—输出/天。代入具体数值，得输入/天=10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天），输出/天=69（焦/千克?天）×（千克）=69（焦/天）。第6页
体重改变/天=△W/△t（千克/天），当△t→0时，它等于dW/dt。考虑单位匹配，利用“千克/天=（焦/天天）/41868（焦/千克）”,可建立以下微分方程模型第7页
模型求解用变量分离法求解，模型方程等价于积分得第8页
从而求得模型解就描述了此人体重随时间改变规律。第9页
现在我们再来考虑一下：此人体重会到达平衡吗?显然由W表示式，当t→∞时，体重有稳定值W→81。我们也能够直接由模型方程往返答这个问题。在平衡状态下，W是不发生改变。所以这就非常直接地给出了W平衡=81。所以，假如我们需要知道仅仅是这个平衡值，就无须去求解微分方程了！第10页
至此，问题已基本上得以处理。普通地，建立微分方程模型，其方法可归纳为：(1)??依据规律列方程。利用数学、力学、物理、化学等学科中定理或许多经过实践或试验检验规律和定律，如牛顿运动定律、物质放射性规律、曲线切线性质等建立问题微分方程模型。第11页
(3)??模拟近似法。在生物、经济等学科实际问题中，许多现象规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂，常惯用模拟近似方法来建立微分方程模型、建模时在不一样假设下去模拟实际现象，这个过程是近似，用模拟近似法所建立微分方程从数学上去求解或分析解性质，再去同实际情况对比，看这个微分方程模型能否刻划、模拟、近似一些实际现象。本章将结合例子讨论几个不一样领域中微分方程模型建模方法。第12页
§2传染病模型问题描述传染病传输过程分析受感染人数改变规律预报传染病高潮到来时刻预防传染病蔓延伎俩按照传输过程普通规律，用机理分析方法建立模型第13页
已感染人数(病人)i(t)每个病人天天有效接触(足以使人致病)人数为?模型1假设若有效接触是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?第14页
模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人百分比分别为2）每个病人天天有效接触人数为?,且使接触健康人致病建模?~日接触率SI模型第15页
模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻?(日接触率)??tm?Logistic模型病人能够治愈！?t=tm,di/dt最大第16页
模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人天天治愈百分比为??~日治愈率建模?~日接触率1/?~感染期?~一个感染期内每个病人有效接触人数，称为接触数。第17页
模型3i0i0接触数?=1~阈值感染期内有效接触感染健康者人数不超出病人数1-1/?i0模型2(SI模型)怎样看作模型3(SIS模型)特例idi/dt01?10ti?11-1/?i0t??1di/dt0第18页
模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出