第02讲利用导数研究函数的单调性
目录
TOC\o11\h\u题型一：重点考查利用导数求函数的单调性（不含参） 1
题型二：重点考查已知函数在上单调求参数 4
题型三：重点考查已知函数在上存在单调区间求参数 6
题型四：重点考查已知函数在上不单调求参数 9
题型五：重点考查导数图象与原函数图象之间的关系 13
题型六：重点考查讨论函数的单调性 16
题型七：重点考查构造函数解不等式 23
题型一：重点考查利用导数求函数的单调性（不含参）
典型例题
例题1．（2023上·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）函数在上的单调递减区间为.
【答案】
【详解】由题意知，.
即，，因为，所以，
所以在中，，
所以在上的单调递减区间为.
故答案为：
例题2．（2024上·陕西榆林·高二统考期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
【答案】(1)
(2)单调增区间为，单调减区间为和
(3)
【详解】（1）因为，
所以，，，
故曲线在点处的切线方程；
（2），且.
当时，，
当时，，
故的单调增区间为，单调减区间为和；
例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，求的单调区间.
【答案】的单调递增区间为，无递减区间.
【详解】由已知可得，定义域为，.
令，则.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，
所以在上恒成立，
所以，在上单调递增.
所以，的单调递增区间为，无递减区间.
精练核心考点
1．（2023上·北京朝阳·高二统考期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为
【详解】（1）由，的定义域为.
则，
所以，又，
所以在点处的切线方程为.
（2），
由，得，或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以函数的单调递增区间为；
单调递减区间为.
2．（2023上·河南南阳·高三统考期中）已知函数.
(1)求的单调区间；
【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)三条
【详解】（1）因为，
所以.
令，得；令，得.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
3．（2023·河南·模拟预测）设函数.
(1)讨论的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意，的定义域是，，
令解得在定义域内，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
因此的单调递增区间为，，单调递减区间为.
题型二：重点考查已知函数在上单调求参数
典型例题
例题1．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】由题设在区间上单调递增，所以恒成立，
所以上恒成立，即恒成立，
而在上递增，故.
所以A符合要求.
故选：A
例题2．（2023上·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是.
【答案】
【详解】因为函数在区间上是单调函数，
则在上有或恒成立，
当时，即，则，
当时，即，则，
综上：实数a的取值范围是.
故答案为：
例题3．（2023下·广东广州·高二广东实验中学校考期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是．
【答案】
【详解】函数，求导得，
依题意，，，即恒成立，
显然函数是开口向上的二次函数，因此，
解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
精练核心考点
1．（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：函数在上单调递减，则在上恒成立，
所以，在上恒成立，设函数，则，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，
则实数的取值范围是.
故选：D.
2．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为．
【答案】
【详解】因为，所以．
由的图象在区间上单调递增，
可知不等式即在区间上恒成立．
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
故要使在上恒成立，只需．
由，解得，
故实数a的取值范围为，则a的最小值为．
故答案为：
3．（2023上·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是：.
【答案】
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为.
故a的取值范围是.
故答案为：
题型三：重点考查已知函数在上存在单调区间求