基于平均数统计意义的层次分析与教学应用
【摘要】分析现行小学数学教材中对平均数内容的编排，阐述平均数在统计意义认识中的四个层次及应用。基于此，设计平均数教学活动，以解决实际问题为主线，通过创设问题情境、引发矛盾冲突和回顾体悟价值三个维度，引导学生全面深入地理解平均数的多重意义，努力达成从程序性理解到概念性理解的过渡，最终指向数学模型的应用和数据分析意识的培养，实现学生素养的提升。
【关键词】平均数；层次分析；教学应用
平均数是统计学中表示数据集中趋势的统计量，也是小学数学“统计与概率”领域的重要学习内容。平均数概念不仅涉及基础的算术运算——求和与除法，还承载了培养数据意识的丰富的统计内涵，包括描述数据整体特征与描述不同数据组间的差异。通过平均数，可以洞察数据的中心趋势，为后续更复杂的统计分析，如数据分布的探讨奠定基础。
然而，当前平均数的教学实践中存在一个显著的问题，即过分偏重计算技能的训练，而对平均数作为统计量的深层意义的挖掘与体现不足。这种偏差不仅限制了学生对平均数全面而深刻的理解，也阻碍了他们在解决实际问题中有效运用这一知识的能力发展。因此，需要重新审视并改进平均数的教学方法。
一、数学教材中平均数内容的编排
现行的小学数学教材均将平均数作为一个核心概念进行系统编排。尽管不同版本的教材在编排思路上有一定差异，但均关注了平均数的算法和统计意义，以及统计意义理解的四个层次。下面以北京师范大学出版社、人民教育出版社、江苏凤凰教育出版社出版的小学数学教材为载体，分析教材对平均数内容的安排。
（一）不同版本教材对平均数内容的编排
由北京师范大学出版社出版的小学数学教材（以下简称“北师大版教材”）将平均数的学习安排在四年级和五年级下册。具体而言，四年级通过“记数字”等情境引入平均数，强调其代表性，并利用“移多补少”的方法帮助学生直观理解平均数的计算，进而通过众数和平均数的对比，深化学生对平均数意义的理解。五年级下册则进一步探讨平均数的灵敏性和虚拟性，通过“免票乘车”和“少儿歌手大奖赛”等情境，引导学生感受平均数在数据分析中的应用，并理解极端数据对平均数的影响。
由人民教育出版社出版的小学数学教材（以下简称“人教版教材”）同样将平均数的学习安排在四年级下册。教材先通过收集矿泉水瓶的实例聚焦平均数的计算；再通过比较不同人数的男女生队在踢毽比赛中的成绩，引导学生理解平均数的意义和计算方法，感受平均数在解决实际问题中的应用；最后通过单元练习中的一道习题，介绍歌手大赛中的规则——去掉一个最高分和一个最低分，帮助学生了解平均数容易受极端数据影响的特点，感知平均数的灵敏性，进一步深化学生对平均数意义的理解，培养学生的数据分析意识。
江苏凤凰教育出版社出版的小学数学教材（以下简称“苏教版教材”）则将平均数的学习安排在四年级上册。教材直接呈现不同人数的男女生队的套圈成绩统计图，让学生比较哪个队套得更准，讨论比较最值、比较总数和求平均数三种方法哪种更合理，感受平均数的代表性，学习平均数的计算方法。在后续的练习中，也同人教版教材一样，安排了“朗诵比赛”的情境，介绍“去掉最高分和最低分”的比赛规则，引导学生感受平均数的灵敏性。此外，还通过“运动与身体变化”这一实践活动，让学生经历真实的实验过程，体会平均数作为统计量的意义，感受平均数的应用价值。
（二）不同版本教材共同关注的方面
三个版本的小学数学教材在平均数的教学上都注重算法和统计意义两个方面的教学。
在算法的学习上，三个版本教材都通过例题介绍了移多补少、先求和再除法（即平均分）两种计算方法，并设置了相应的练习题。
在统计意义的学习上，三个版本教材都引入实际数据和情境，引导学生在解决问题中感受用平均数分析和比较数据的过程，理解平均数的概念，明确平均数描述了数据的集中趋势，从而感受其代表性。同时，让学生在平均数计算过程中感受平均数的统计意义，并通过阅读和思考问题串及人物对话，感受平均数的虚拟性和灵敏性，进而形成对平均数作为一种数学模型的意义的理解。最后在练习设计上，进一步丰富学生对平均数意义的理解，使学生对平均数统计意义的认识层层深入、螺旋上升。北师大版教材还专门在五年级下册安排了“平均数的再认识”一课，通过“免票乘车”和“少儿歌手大奖赛”两大情境和数据，引导学生借助数据分析再次感受平均数的统计意义，发展数据意识。
二、平均数统计意义认识中的四个层次
如前所述，平均数统计意义的认识可以体现在四个层次：代表性是平均数统计意义的核心和基础，而平均数就是表达一组数据总体情况的一个代表性的值；虚拟性则是代表性意义的进一步延伸；灵敏性是由平均数的算法而带来的特征；数学模型则体现了平均数这一统计量得以产生的缘由。
（一）平均数具有代表性
平均数的核心意义是它能刻画、代表一组数据的整体水平。它不同于原始数据中的每一个数