小学“数量关系”主题的教学探析：早期代数思维的视角
【摘要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》赋予了“数量关系”新的教学内涵，并与核心素养和代数思维建立联系。从早期代数思维的视角看，数量关系的教学一般有三种思维推理形式，即关系性思维、共变思维和准变量思维。教师通过阐述这三种思维形式的特征，探讨如何挖掘和理解教材中的相应思维形式，并在教学中如何引导学生充分经历相应的思维推理过程，进而习得数量关系相关知识，提升学生核心素养。
【关键词】数量关系；早期代数思维；关系性思维；共变思维；准变量思维
恩格斯从数学来源的角度提出“数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学”，这一论述对数学及数学教育产生了深远的影响。他主张，数学中数量和数量之间有联系或发生关系才有意义，单个数量的存在或堆积是没有意义的。［1］76数量这个词是被人们惯用的术语，“Quantit?tsverh?ltnisse”应该翻译为“量的关系”，而不是“数量的关系”。［1］75对“数量关系”的译法，关肇直先生也认为有不妥之处，他指出：应把“数量关系”改译为“量的关系”。［2］本文中的数量和量两个术语互用。
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）将“数量关系”确定为小学阶段数与代数领域的两个主题之一。“数量关系”主要是指“用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律。学生要经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识”。由此可见，2022年版课标对小学“数量关系”的目标要求涵盖两个方面：一是发现和表达具体情境中的数量关系，二是运用数量关系分析和解决实际问题。因此，数量关系的教学应聚焦于量及其关系的认知和表征，才能运用数量关系解决问题。
过去，数量关系的教学经历了从“过度模式化教学的应用题”到“去应用题”再到“解决问题”最终转变为“问题解决”的演变过程，似乎更强调运用数量关系（特别是常用数量关系）解决问题，而在一定程度上忽视了对量及其关系的认识和表征的教学。然而，在具体情境中发现、分析和表达量及其关系（不仅仅是常用数量关系）对于学生早期代数思维的培养和发展，以及后续的代数学习具有举足轻重的作用。实际上，强调早期代数思维是2022年版课标的一个显著变化。那么，小学阶段的早期代数思维具有怎样的特征？该阶段早期代数思维的发展与数量关系的教学存在怎样的内在联系？如何通过数学教材中的教学内容来发展小学生的早期代数思维？本文结合北师大版教材相关教学内容进行具体分析。
一、早期代数思维的特征及教学启示
对于中小学生而言，数学从数和数的运算（算术），到符号和符号运算（代数），容易忽略从算术到代数的过渡，这样不利于学生后续学习和代数思维的发展。通过加深算术课程的内容，帮助学生发展早期代数思维和代数推理能力，是解决这一困境的有效途径。早期代数思维是指“学生在归纳概括一般化的算式结构、变化规律和数量关系，并且运用（各类）符号来表征和推理论证一般化结论时经历的一系列思维过程”。主要体现在抽象算术、函数思维和数量关系三方面数学内容。［3］22研究表明，早期代数思维需要满足三个条件。第一是不确定性，问题涉及未知量、变量、参数等要素。第二是表征，问题中涉及的不确定的量必须被命名或用符号表示。第三是分析性，即以分析的方式处理不确定的量，这些不确定的量被当作已知的数进行加、减、乘、除运算。［4］
基于此，小学数学教学应引导学生经历从具体情境中发现数量及其关系，并进行表征，进而通过分析数量关系和规律进行相应的一般化表达和问题解决的过程。这一过程是衔接算术与代数的一种思维推理方式，是早期代数思维关注的焦点。早期代数思维是介于算术和代数之间的思维推理过程，强调深化包括数量关系在内的算术课程的内容，主要指向在教学过程中重视三种思维推理形式：“关系性思维（RelationalThinking）”“共变思维（CovariationThinking）”和“准变量思维”。［3］23-27简言之，在数量关系教学时，教师应引导学生经历关系性思维、共变思维和准变量思维的分析与推理。
二、关系性思维的特征及其教学内容分析
关系性思维不仅要求学生准确把握“相等”的概念，还鼓励学生从整体的视角审视算式和等式的内在结构。这种思维方式能够让学生超越对算式中运用数的程序性计算，转而关注数与数之间的内在联系，并据此灵活变换等式。［5］面对等式时，学生不是将等号视为计算结果输出的简单提示，而是能够洞察等式所蕴含的等价关系和整体结构。从等号的程序性理解到关系性理解的转变，这正是算术思维向代数思维演进的关键标志之一。［6］
2022年版课标增加了“等量的等量相等”这一基本事实，旨在强调关系性思