一致性视角下中日教材整数除法的比较研究
【摘要】以人教版、康轩版和日教版小学数学教材为研究对象，针对其整数除法内容的编排顺序和运算一致性展开比较。结果表明：在编排顺序方面，人教版教材选择“计数单位转换”为主线，康轩版教材和日教版教材选择“被除数位数”为主线；只有人教版教材强调商0且推进难度较大；人教版教材以三位数除以两位数突破试商调商，康轩版教材和日教版教材则以两位数除以两位数来突破。在运算一致性方面，康轩版教材达成了算理一致性，人教版教材和日教版教材欠佳；日教版教材贯彻了算法一致性，康轩版教材和人教版教材欠佳。据此提出建议：应以计数单位为单元主线和除法算理算法的内核，贯彻“不够分就商0”和“一位位分，一位位转”，并集中突破试商调商。
【关键词】整数除法；编排顺序；算理；算法；一致性
一、问题提出
整数除法不仅是整数加、减、乘的综合运用，还是小数、分数除法的迁移对象，在除法运算学习中占据重要的位置。由于学生对除法算理的理解不够深入，只会机械性地操作，导致其在运用算法时出现错误［1］，这给他们之后的学习造成了阻碍。为解决这一困扰，《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出了数的概念与运算的一致性［2］。整数除法虽然是小学阶段最复杂的运算，但也秉持除法运算贯穿始终的核心概念，即一致性［3］。只有引导学生掌握整数除法的通性通法，才能够建立起整数、小数、分数除法的一致性体系。
教材是教师教学、学生学习的主要依据。现有教材对整数除法内容的编排呈现出多样的思路，那么，各版教材是如何编排整数除法的？是否体现了运算的一致性？下面将围绕这一内容展开研究。
二、研究设计
（一）研究对象
本研究选取我国人民教育出版社、康轩文教集团和日本教育出版株式会社发行的小学数学教材（以下分别简称“人教版”“康轩版”和“日教版”）作为研究对象，针对其整数除法内容的编排顺序和运算一致性展开比较。由于表内除法和有余数的除法的编排并无大异，而除数是一位数和两位数的除法是学生学习整数除法最核心的内容，因此下文仅分析后两者。
（二）分析框架
1.编排顺序
编排顺序指教材内容安排的先后顺序，包括章节内容的宏观安排和微观安排［4］。在宏观安排上，本研究以知识点出现的位置为分析维度；在微观安排上，本研究依据已有研究［5-6］，选定单元主线、商0、试商调商三个分析维度。具体如表1所示。
2.运算的一致性
运算的一致性包含了运算算理和算法的一致性。［5］由于计数单位是个数和顺序的计量单位，因此是一致性的着力点。［7］借助计数单位，算理和算法的一致性体现为计数单位的细分和转换。步骤为“一位位分，一位位转”，即做除法运算要按照计数单位从高位一位位分，若有余数，要立马转换成用下一级计数单位表示的数，并与该计数单位上已有的数组合成该计数单位上新的数，进行新一轮的均分。策略为“做除法想乘法，做乘法想口诀”，即做除法的实质是在做乘法，乘法又可精简成表内乘法。由于图像表征（直观表征）、横式表征（抽象表征）是算理的重要表示方法［8］，而算法需要从竖式表征（抽象表征）中提炼出来，因此制定了如表2所示的整数除法运算一致性研究框架。
三、研究结果
（一）编排顺序
1.章节内容宏观安排
三版教材章节内容的宏观安排如表3所示。
（1）相同点
首先，三版教材都包含了两位数、三位数除以一位数、两位数的内容，且都将它们安排在三、四年级。学生在该阶段的智力发育水平可以支持抽象的逻辑思考，因此能在一学年内完成整数除法的学习。
其次，三版教材在除数是一位数和两位数的除法之后，都不再安排整数除法的学习，除数是两位数的除法由此成为整数除法学习的最终单元。这是因为除数是一位数的除法规范了一位位算的法则，除数是两位数的除法增加了试商调商，当除数再变化时，其算理算法已不会再发生变化。
（2）各自特点
人教版教材的内容涉及面最小，仅涉及两位数、三位数除以一位数、两位数的内容，但这些内容是多位数除法中最核心的部分，说明其注重学生对整数除法基础的掌握。
康轩版教材将增加的四位数除以一位数的内容放至“整数的除法”单元，作为除数是两位数的除法的前置知识，割裂了除数是一位数的除法的学习，这也许是在为除数是两位数的除法做准备。
日教版教材的编排更为紧凑，在四年级上册设置了“笔算除法（1）”和“笔算除法（2）”两个独立单元，用一个学期集中突破整数除法，而增加的四位数除以两位数的内容则作为学生在整数除法学习中的终极考验。
2.章节内容微观安排
三版教材章节内容的微观安排如表4、表5、表6所示。
（1）相同点
首先，在单元主线上，当除数位数相同时，三版教材都选取“计数单位转换”和“被除数位数”作为内容推进的维度。其次，在商0上，都给出了多样的商0情况，包括首位、中间和末尾商0三种类型。最后，在试商调商上，都提供了大量的例题，帮助学生充分积累两位