专题19：通项公式常用方法
专题综述
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在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈.求通项公式也是学习数列时的一个难点.由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强.
专题探究
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题型一：累加法
题型一：累加法求通项公式
如果递推公式形式为：an+1
①等号右边为关于n的表达式，且能够进行求和；
②an+1
例1(2024·湖北襄阳模拟)已知数列an满足a1=1,an?a
A.25 B.34 C.1
【思路点拨】
根据递推关系得出1an+1?1a
练1(2024·全国·模拟预测)数列an满足a1=2，a2=?4，且对任意正整数n，有an+2
A.?16 B.?17 C.?18 D.?19
练2（2024·广东·统考模拟预测）南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第20项为(????)
(注：12+
A.1624 B.1024 C.1198 D.1560
题型二：累乘法
题型二：累乘法求通项公式
如果递推公式形式为：an+1
例2（2024·浙江高三模拟）若数列an满足n?1an=n+1an?1n≥2，a
A.28 B.29 C.30 D.31
【思路点拨】
依题意可得an+1a
练3（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）在数列an中，a1=12且n+2an+1
A．3031 B．2930 C．2829
练4练4（2025·全国高三专题练习）法布里?贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n层薄膜，记光波的初始功率为P0，记Pk为光波经过第k层薄膜后的功率，假设在经过第k层薄膜时光波的透过率Tk=PkPk?1=12k，其中k=1
A.31 B.32 C.63 D.64
题型三：
题型三：Sn与
(1)已知Sn求an的常用方法是利用
(2)Sn与a
方向1：利用an=Sn?
方向2：利用Sn?Sn?1=an
例3（2023·全国校联考模拟预测）已知数列an满足a
bn=λan?1?n
A．38,+∞ B．12,+∞ C．
【思路点拨】
根据给定条件求出数列an的通项，再由数列b
练5已知数列{an}满足log2an?1=log2
A.2n+1 B.2n?1 C.n?1 D.n+1
练6（2023·全国高三专题练习）数列an的前n项和Sn=22n?1
A．14 B．516 C．38
题型四：构造法
题型四：构造法求通项公式
类型1：用“待定系数法”构造等比数列
a
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式；
2、m=p
3、构造等比数列an
类型2：用“同除法”构造等差数列
a
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2的标准形式；
2、两边同除qn+1
3、构造数列an
类型3：用两边同时取倒数构造等差数列
（1）a
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；
2、两边同时取倒数转化为1an+1=s
3、构造数列1an
类型4：用“同除法”构造等差数列（2）
a
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型4的标准形式；
2、两边同除an+1
3、构造出新的等差数列1
类型5：用“待定系数法”构造等比数列
a
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型5的标准形式；
2、可以化为an+1?x1an
3、若1是方程的根，则直接构造数列{an?
例4（2025·广东期末）在数列an中，a1=1，且an+1=
1n2?n+1 B.1n2?n+2
【思路点拨】
根据an+1=an1+nan
练7（多选）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1
A.若p=0，则Sn=3n?1+12 B.若p=1，则an=3n?12
C.
练8（2022·江西萍乡·统考一模）数列an各项均是正数，a1=12，a2=32
①a3
②数列an
③数列an+1
④an
A．1 B．2 C．3 D．4
题型五：方程组
题型五：方程组法求二阶递推的通项公式
当二阶递推关系式形如：a
设an+1?αan
可知：α，β是方程
（1）当α≠β时，数列an+1
同时满足数列an+1
则有an+1?αa
得：a
（Ⅱ）当α=β时，设an+1?α