抓准真起点开展真研究
一日，笔者听了某位教师执教的人教版教材三年级下册“用面积解决问题”一课。该教师通过讲解教材的例题、练习，顺利完成了教学。从课堂上学生的反应来看，他们似乎都掌握了这类问题的解决方法。课后，笔者随机访谈了几名学生，他们纷纷表示解决这类问题很简单，只要用大图形的面积除以小图形的面积就可以了。是不是每个学生都这样认为？为全面了解情况，笔者随即对全班41名学生做了一次课后调查。
课后调查的题目如下。
（1）从一张长16厘米、宽10厘米的长方形贴纸中，剪出边长为2厘米的正方形小贴纸，最多能剪几张？
（2）从一张长16厘米、宽10厘米的长方形贴纸中，剪出边长为4厘米的正方形小贴纸，最多能剪几张？
调查结果显示，第（1）题全班有38人回答正确，正确率为92.7%，3名学生出错分别是由单位名称错误、方法错误和计算错误导致的。而第（2）题全班仅有8人做对，正确率为19.5%。究其错因，主要还是方法问题。多数学生都用大图形面积除以小图形面积的方法来解决问题，得到答案“10张”，导致结果出错。
为什么两题的调查结果反差这么大？仔细分析，第（1）题中，用小正方形贴纸正好能铺满大长方形贴纸，所以无论是用大图形面积除以小图形面积的方法还是用画图策略求出相邻两边各能剪几个小正方形再相乘的方法，得到的答案都是一样的，所以正确率就高。第（2）题则有所不同，剪小正方形贴纸时大长方形贴纸会有剩余，学生如果只会生搬硬套，而不会根据具体情况灵活选择解题方法，错误率自然就高了。
按常理，学生上完这节课以后，应该能够正确解答这类问题，那为什么他们的错误率还这么高呢？究其原因，还是教学设计出了问题。这节课上教师选取的研究问题，基本都属于大图形的长和宽正好是小图形边长整倍数的类型，仅有的非整倍数的题目也是房间铺地砖问题，所以用大图形面积除以小图形面积的方法得到的答案也是正确的，这就使得学生无法深刻理解策略的适用性，合理选择解决问题的策略。那么，这节课究竟应如何定位、设计，才能真正提升学生的问题解决能力呢？围绕这一问题，笔者开始了实践与探索。
一、教学过程
环节一：自主探究，理解方法
1.揭示课题：用面积解决问题（板书）。
2.布置任务，让学生尝试解决。
出示任务1：从一张长16厘米、宽10厘米的长方形卡纸中，剪出边长为4厘米的正方形卡片，最多能剪几张？
让学生通过想一想、算一算、画一画等方式自主探究，尝试解决问题。
3.交流反馈，呈现解决方法。
请学生介绍他们使用的方法，说一说自己是怎么想的。
方法一：先求出长方形卡纸的面积，再求出正方形卡片的面积，然后用长方形卡纸的面积除以正方形卡片的面积，就是最多能剪的正方形卡片张数。即：16×10=160（平方厘米），4×4=16（平方厘米），160÷16=10（张）。
方法二：用画图的方法可以发现，沿着长方形卡纸的长边可以剪4张，沿着宽边最多可以剪2张。用沿着长边剪的张数乘沿着宽边剪的张数，也就是4×2，得出最多能剪8张正方形卡片。
4.辨析讨论，得出正确方法。
学生讨论：为什么两种方法得到的答案不一样，究竟最多能剪几张正方形卡片？
得出结论：方法二正确。因为剪完8张正方形卡片后，剩下的长方形卡纸长16厘米、宽2厘米，不能再剪出边长是4厘米的正方形卡片了。
小结：通过画图可以发现，这张长方形卡纸最多能剪出8张正方形卡片。
环节二：分析对比，丰富体验
1.布置任务，学生自主探究。
出示任务2：从一张长16厘米、宽10厘米的长方形卡纸中，剪出边长为2厘米的正方形卡片，最多能剪几张？
请学生自主解决，完成学习单。
2.交流反馈，呈现探究成果。
出示学生的研究成果，请学生介绍自己的解题思路。
方法一：16×10=160（平方厘米），2×2=4（平方厘米），160÷4=40（张）。
方法二：
讨论：为什么这道题两种方法计算出来的答案是一样的？
得出结论：无论在这个长方形的长边还是宽边上剪边长为2厘米的正方形卡片，都是恰好剪完没有剩余，所以两种方法得出的答案是一样的。
3.对比小结，丰富相关体验。
讨论：两种方法应该如何选择？什么情况下两种方法都适用？
小结：一般情况下，可以采用“沿着长边剪的张数×沿着宽边剪的张数”，即“每行（列）剪的张数×行（列）数”的方法来解决；当大图形的长与宽刚好是小图形边长的整倍数时，就可以采用“大图形的面积÷小图形的面积”的方法来解决。
环节三：举一反三，深化应用
1.出示任务3，请学生选择合适的方法解决问题。
（1）一块长16分米、宽10分米的长方形墙面需要贴面砖。用边长为4分米的正方形面砖贴满这个墙面，一共需要多少块？
（2）从一块长8分米、宽7分米的长方形布料中，剪出面积为4平方分米的正方形小样，这块布料最多可以剪出这样的几块？
2.反馈交流，请学生介绍自己的解题方案，说说理由。
反馈第（1）