空间角—几何法
考法一线线角
【方法原理】
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
②范围：
=3\*GB3③求法：
法一平移法：将异面直线平移到同一平面内（平移方法同线面平行证明的方法法一（A型平行）;
法二补形法：常见墙角体、鳖臑体、对棱相等的三棱锥均可考虑补形为长方体或正方体；
法三空间余弦定理：适用于由异面直线构成的三棱锥中，每条棱长均可求的情况.比如在空间四边形中，求的夹角公式如下：
【典例1】如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连，相交于点，连、，
因为为的中点，为的中点，有，可得为异面直线与所成的角，不妨设正方形中，，则，
由平面，可得，
则，，
因为，为的中点，所以，．
故选：D.
【跟踪训练】
1．在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【解析】设正方体的棱长为，连接，，，
因为，故或其补角为直线与直线所成角.
而，，，
故，所以，
所以，因为为锐角，故，
故选：A.
2．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】如图所示，
分别取，，，的中点，，，，则，，，
或其补角为异面直线与所成角．
设，则，，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A．
3．如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示：
取BC的中点G，连接EG，FG，
因为E，F，G都为中点，所以,
所以，分别为异面直线EF与AB，EF与CD所成的角，
因为，所以
又因为，，所以所以,
因为，所以故选：A
4．（2324高二上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点．
(1)求证：点Q在直线DC上；
(2)求异面直线与所成角的大小．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【难度】0.85
【知识点】空间中的点共线问题、求异面直线所成的角
【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上.
（2）判断出异面直线与所成角并计算出角的大小.
【详解】（1）平面平面，
由于平面，平面，
所以，也即点Q在直线DC上.
（2）根据正方体的性质可知，
所以异面直线与所成角为，
由于分别是的中点，
所以，
所以异面直线与所成角的大小为.
考法二线面角
【方法原理】
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
=3\*GB3③求法：
法一常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；
连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．
法二等体积法：（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
【典例2】在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为（）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【解析】∵，，∴，
∵，，，平面，
∴平面，
∴就是与平面所成的角，即与平面所成的角是，
∵棱柱中，∴与平面所成的角的大小为，
故选：A．
【跟踪训练】
1．直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，过作，连接，
在直三棱柱中，因为
所以平面，
故在平面上的射影为,
所以为直线与平面所成的角，
设，又
所以
故故选：A
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（????）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算、求线面角
【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果.
【详解】解法一：分别取的中点，则，
可知，
设正三棱台的为，
则，解得，
如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，
则，，
可得，
结合等腰梯形可得,
即，解得，
所以与平面ABC所成角的正切值为；
解法二：将正三棱台补成正三棱锥，
则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，
因为，则，
可知，则，
设正三棱锥的高为，则，解得，
取底面ABC的中心