湖北省部分省级示范高中2024-2025学年高一下学期期中测试
数学试卷
一、单选题
1．在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（???）
A． B． C． D．
2．已知，则（???）
A． B． C． D．
3．在中，内角所对的边分别为，已知，则角等于（???）
A． B． C． D．或
4．如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（???）
A． B． C． D．
5．年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（???）
A． B． C． D．
6．在下列函数中，周期为的函数是（????）
A． B．
C． D．
7．函数的部分图象如图所示，则（???）
A． B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点
8．若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（???）
A． B． C．[3，5] D．
二、多选题
9．已知，，则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．与的夹角为
D．在方向上的投影向量是
10．已知函数，则下列结论正确的是（????）
A．是的一条对称轴
B．的对称中心是
C．在区间上的值域是
D．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则
11．在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有（????）
A．
B．的取值范围是
C．当时的外接圆半径为
D．若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为
三、填空题
12．若复数为纯虚数，则实数的值为．
13．在中，角的对边分别为，则．
14．在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是．
四、解答题
15．已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．
(1)求实数；
(2)定义复数的一种运算“”：，求．
16．已知.
(1)求；
(2)求.
17．已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线.
(1)求；
(2)若的面积为，求的值.
18．已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为.
(1)求的单调递减区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.
19．如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为是弧上的动点（不含点），作交OB于点，作交OA于点，同时以OA为斜边，作，且．
(1)设，将的面积表示成的函数并求其最大值；
(2)从点出发，经过线段，到达点，求途经线段长度的最大值．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
A
C
C
D
B
ABD
AD
题号
11
答案
ACD
1．D
根据题意有求参数y，再由正弦函数的定义求.
【详解】由题意，且，解得，
所以.
故选：D
2．C
分子分母同除，化弦为切代入求解即可.
【详解】因为，所以．
故选：C．
3．B
利用正弦定理可得，进而可得角C.
【详解】在△ABC中，，，，
由正弦定理得，
且，则，可得，
所以．
故选：B．
4．A
根据题意结合向量的线性运算求解即可.
【详解】因为点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，
则，，
所以.
故选：A．
5．C
利用题中定义结合三角恒等变换化简可得所求代数式的值.
【详解】
.
故选：C．
6．C
利用三角恒等变换、结合正余弦函数及正切函数的周期逐项判断即可.
【详解】对于A，，周期为，A不是；
对于B，，周期为，B不是；
对于C，，周期为，C是；
对于D，，周期为,D不是.
故选：C
7．D
由图像即可得到函数解析式，从而判断AB，由正弦型函数的单调区间即可判断C，由正弦型函数的零点代入计算，即可判断D.
【详解】由图可知，，且，可得，
又，∴，故A错误；
由五点作图法可知，，解得，
则的最小正周期为，故B错误；
函数解析式为，
当时，，，
在区间上不是单调减的，故C错误；
由，可得，即，
再由，解得，
由，解得，
∴，则在区间上共有8100个零点，
故D正确．
故选：D．
8．B
根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围.
【详解】由题意可得：
，
即是上的“完整函数”，所以存在，
使得成立；
即存在，使得成立；
又因为，因此，
即在上至