2024-2025学年高二下学期期中测试数学试题（A卷）
一、单选题
1．若，则（????）
A．120 B．105 C．210 D．240
2．已知曲线上一点，记为函数的导数，则（????）
A． B． C． D．
3．吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位：）之间的关系式为，则时气球的瞬时膨胀率大约是时气球的瞬时膨胀率的（????）
A．2倍 B．4倍 C． D．
4．关于二项式，若展开式中含项的系数为4，则（????）
A． B．1 C．3 D．2
5．已知直线是曲线在处的切线，则的值为（????）
A．1 B．0 C． D．
6．2025届高二数学竞赛中对尖端生采用暂时屏蔽措施，某校有，，，，五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是，，三位同学，但不是第一名，，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（????）
A．6 B．24 C．22 D．12
7．已知，，，则，，的大小关系正确的是（????）
A． B． C． D．
8．已知函数和，若对，，使得，则的取值范围（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（????）
A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值
10．设，，是三个随机事件，则下列说法正确的是（????）
A．
B．若，相互独立，则
C．若，则，对立
D．若，，则
11．“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图：
??
下列说法正确的有（????）
A．第行的第个数是
B．第行的第个数最大
C．
D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
三、填空题
12．现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，恰有1个盒子是空盒的方法共有种.
13．已知离散型随机变量的分布列如下表：
0
1
2
5
则.
14．已知，定义运算@：，其中是函数的导数.若，设实数，若对任意，恒成立，则的取值范围.
四、解答题
15．已知二项式展开式中，前三项的二项式系数和是56.
(1)求的值；
(2)求其二项式系数之和与各项系数之和的差.
16．已知函数的图象关于原点对称.
(1)求的值；
(2)求函数的极值点.
17．（1）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由；
（2）（i）对于事件，，，当时，求证：；
（ii）若某同学做如下摸球试验：一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中黑球7个，白球3个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回.若该同学摸球三次，求三次都摸到白球的概率.
18．已知函数.
(1)当，时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：.
19．一个生产车间有三台设备，假设在一天的运行中，设备1，2，3出现故障的概率分别为，，，其中，每台设备一天最多出现一次故障，各部件的状态相互独立.
(1)若，求车间在一天的运行中，有两台设备出现故障的概率；
(2)对于出现故障的设备，车间在当天对其修复，且设备1，2，3的单次维修费用分别为50元，100元，150元，通过计算说明当时该车间每年设备维修费用的均值不超过5.475万元.（一年按365天计算）.
答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
D
D
B
B
C
AD
ABD
题号
11
答案
AD
1．C
直接利用排列数和组合数公式求解即可.
【详解】由题意得，得到，解得，
则由排列数公式得，故C正确.
故选：C
2．D
求出函数的导数，进而求出函数值即可.
【详解】函数，求导得，则，而，
所以.
故选：D
3．B
根据题意，求得，分别求得和，进而求得膨胀率，得到答案.
【详解】由题意知：，可得，
当时，可得；当时，可得
所以时气球的瞬时膨胀率大约是时气球的瞬时膨胀率的倍.
故选：B
4．D
根据题意，先求得二项式的展开式的和项系数，进而得到展开式中的系数，列出方程，求解的值，即可得到答案.
【详解】由二项式展开式中项系数为，展开式的项系数为，
所以展开式中含的项的系数，解得.
故选：D.
5．D
由函数，求得，根据题意，得到，解得，得到，将其代入切线方程，即可求解的值，得到答案.
【详解】由函数，可得，
因为直线与曲线的切点为
可得，解得，可得，即，
将点代入切线，可得，解得.
故选：D
6．B
根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算可得.
【详解】第一步排有两种