关于一元二次不等式的解法复习课第1页，共14页，星期日，2025年，2月5日复习：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是一个有机的整体。通过函数把方程与不等式联系起来，我们可以通过对方程的研究利用函数来解一元二次不等式。第2页，共14页，星期日，2025年，2月5日如：⑴ax2+bx+c=0(a0)有两个不等实根x1x2则ax2+bx+c0的解为xx1或xx2ax2+bx+c0的解为x2xx1⑵ax2+bx+c=0(a0)若无实根即△0则ax2+bx+c0的解为Rax2+bx+c0的解为φ⑶ax2+bx+c=0(a＞0)若有两相等实根x1=x2则ax2+bx+c0的且解为x≠x1且X∈Rax2+bx+c0的解为φa0同理可得以上规律注:解一元二次不等式实质上是通过解一元二次方程来确定解,通过式子＞(≥)0还是＜(≤)0来确定解的范围!x1x1x2000xxyxyy第3页，共14页，星期日，2025年，2月5日解：∵方程x2－2x－15＝0的两根为x＝－3，x＝5∴不等式的解集为{x│x≥5或x≤－3}。例1.求不等式x2－2x－15≥0(x∈R)的解集。第4页，共14页，星期日，2025年，2月5日例1（变）求不等式x2－2│x│－15≥0(x∈R)的解集。解法1：（对x讨论）当x＞0时，原不等式可化为x2－2x－15≥0由例1可知解为x≥5或x≤－3∵x＞0∴不等式的解集为{x│x≥5}当x≤0时，原不等式可化为x2＋2x－15≥0则不等式的解为x≥3或x≤－5∵x≤0∴不等式的解集为{x│x≤－5}由以上可知原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5}。解法2：（利用函数奇偶性）当x＞0时，原不等式可化为x2－2x－15≥0又x2－2x－15≥0的解为x≥5或x≤－3∵x＞0∴不等式的解集为{x│x≥5}∵函数f(x)=x2－2│x│－15为偶函数∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5}。0Xy第5页，共14页，星期日，2025年，2月5日二.应用1集合问题例2（1）已知一元二次不等式ax2＋bx+60的解集为{x│－2＜x＜3},求a－b的值解：一元二次不等式是通过一次方程的根来确定则可以理解为方程ax2＋bx+6＝0的根－2，3又∵解在两根之间∴a＜06aa－b解法3：(换元法）设│x│=t,则t≥0原不等式可化为t2－2t－15≥0由例1可知解为t≥5或t≤－3∵t≥0∴不等式的解集为{t│t≥5}∴│x│≥5∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5}。＝－2＋3＝1∴b＝1则a－b＝－2＝－6∴a＝－1∴第6页，共14页，星期日，2025年，2月5日（2）已知集合A={x│x2－ax≤x－a}B={x│1≤x≤3}，若A∩B=A求实数a取值范围解：A∩B=A，则A而A:若a≥1则1≤x≤a1≤a≤3若a＜1则a≤x≤1那么A∴a取值范围是1≤a≤3∩∩BB13aa第7页，共14页，星期日，2025年，2月5日2.定义域问题例3求函数f(x)=x2－6x＋8的定义域。解：∴x2－6x＋8≥0的解为x≥4或x≤2∴原不等式的解集为{x│x≥4或x≤2}例3（变）函数f(x)=kx2－6kx+（k+8）的定义域为R（K＞0）求K的取值范围解：∵函数f(x)=kx2－6kx+（k+8）的定义域为R且K＞0∴只要△≤0即(6k)2－4k(k+8)=32k2－32Ｋ≤0∴0≤k≤1又K＞0∴0k≤1Xy0第8页，共14页，星期日，2025年，2月5日3最值问题例4求函数y=x2－2x＋1的最小值解：∵y＝＝0∴ymin＝0例4（1变）求函数y=x2－2x＋1x∈［－1，1］上的最值解:∵函数y=x2－2x＋1的对称轴为x＝1又