解直角三角形
知识点一、直角三角形的边角关系
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、a、b、c这五个元素之间存在着以下的关系：
1. 三边之间的关系：（勾股定理）；
2. 两个锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余）；
3. 边与角之间的关系：.
三角函数是连接边与角的桥梁.
例：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（）
A．45 B．35 C．34
【解答】C
【解析】∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC=1
∴tanA=BC
故选C．
知识点二、解直角三角形
通过直角三角形已知的边、角去求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形.
图形
未知条件
解法步骤
斜边和一条直角边
a、c
b、∠A、∠B
由求∠A，由∠B＝90°－∠A求∠B，由求b
b、c
a、∠A、∠B
由求∠B，由∠A＝90°－∠B求∠A，由求a
两条直角边
a、b
c、∠A、∠B
由求c，由求∠A，由∠B＝90°－∠A求∠B
斜边和一锐角
∠A、c
∠B、a、b
由∠B＝90°－∠A求∠B，由求a，由求b
∠B、c
∠A、a、b
由∠A＝90°－∠B求∠A，由求a，由求b
一条直角边和一个锐角
∠A、a
∠B、b、c
由∠B＝90°－∠A求∠B，由求b，由求c
∠A、b
∠B、a、c
由∠B＝90°－∠A求∠B，由求a，由求c
∠B、a
∠A、b、c
由∠A＝90°－∠B求∠A，由求b，由求c
∠B、b
∠A、a、c
由∠A＝90°－∠B求∠A，由求a，由求c
例：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（）
A．62 B．219 C．213 D．9
【解答】B
【解析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD=12
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD=AC2
在Rt△BCD中，BC=BD2
故选B．
巩固练习
一．选择题
1． 在直角坐标平面内有一点P（2，3），OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值为（）
A．32 B．23 C．21313
【解答】D
【解析】如图，作PE⊥x轴于E．
∵P（2，3），
∴OE＝2，PE＝3，
∴OP=O
∴sinα=PE
故选D．
2． 如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO=35，则点
A．（8，274） B．（8，12） C．（6，334）
【解答】B
【解析】过点F作AB⊥y轴交y轴于点A，过点G作GB⊥AB于B，
则∠FGO+∠FGB＝90°，∠BFG+∠FGB＝90°，∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠BFG＝∠FGO，
∵AB⊥y轴，GB⊥AB，∠AOG＝90°，
∴四边形AOGB为矩形，
∴AO＝GB，AB＝OG＝17，
∵∠EFG＝90°，
∴∠AFE+∠BFG＝90°，
∴AEF＝∠BFG＝∠FGO，
在Rt△AEF中，cos∠AEF=AEEF，即
解得，AE＝6，
由勾股定理得，AF=E
∴BF＝AB﹣AF＝17﹣8＝9，
在Rt△BFG中，cos∠BFG=BFFG，即
解得，FG＝15，
由勾股定理得，BG=F
则点F的坐标是（8，12），
故选B．
3． 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A=35，O是AC边上一点，以OA为半径的⊙O交AB于点D，若BD＝2，AD＝AC，则线段
A．25 B．35 C．210 D．4
【解答】B
【解析】过点O作OE⊥AD于E，
设BC＝3x，
在Rt△ABC中，sin∠A=3
∴AB＝5x，
由勾股定理得，AC=AB2
∴AD＝AC＝4x，
∵AB＝AD+BD，
∴5x＝4x+2，
解得，x＝2，
∴AC＝AD＝8，AB＝10，BC＝6，
∵OE⊥AD，
∴AE＝ED=12
∵OE⊥AD，∠C＝90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴AOAB=AE
解得，AO＝5，
∴OC＝AC﹣AO＝3，
由勾股定理得，OB=OC2
故选B．
4． 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（3，1），则tanα的值是（）
A．1010 B．10 C．13
【解答】C
【解析】如图：过点A做x轴的垂线，交x轴于点B，
∵A（3，1），
∴OB＝3，AB＝1，
∴tanα=
故选C．
5． 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA=45，则
A．94 B．125 C．154
【解答】C
【解析】∵∠C＝90°，AC＝4，cosA=4
∴AB=AC
∴BC=A
∵∠DBC＝∠A．
∴cos