2025届新高三开学摸底考试卷
数学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】集合,,
或，故选：
2．若，则的虚部为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以的虚部是.故选：A
3．已知向量，，若与垂直，则等于（????）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【解析】，
因为与垂直，所以，解得，
所以.故选：B.
4．已知，则（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，所以，
两边同除，得到，即.
，.故选：C.
5．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为底面半径，所以底面周长，
又圆锥母线长，所以圆锥侧面积．故选：A．
6．已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为对于，都有成立，所以函数是增函数，
则函数和均为增函数，且有，
即，解得.故选：B.
7．已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（????）
A． B．． C． D．
【答案】D
【解析】，
，，
函数在区间上恰有3个极大值点，
故，解得.故选：D
8．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（????）
①；②必为奇函数；③；④若，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】令，则由可得，
故或，故①错误；
当时，令，则，则，
故，函数既是奇函数又是偶函数；
当时，令，则，所以，
则，即，则为奇函数，
综合以上可知必为奇函数，②正确；
令，则，故.
由于，令，即，即有，故③正确；
对于D，若，令，则，则，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
，
由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且，
故，故④正确，
即正确的是②③④，故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中，正确的是（????）
A．数据的第50百分位数为32
B．已知随机变量服从正态分布，；则
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，，，则
D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为4
【答案】BC
【解析】对数据排列：，
因为第50百分位数为中位数，所以50百分位数为，故A错误；
因为随机变量服从正态分布，，所以，
所以，所以，所以，故B正确；
因为，，，则，故C正确；
因为样本数据的方差为2，
所以数据的方差为，故D错误.故选：BC.
10．设函数，则下列结论正确的是（????）
A．存在实数使得 B．方程有唯一正实数解
C．方程有唯一负实数解 D．有负实数解
【答案】ABC
【解析】因为，.
由，
设，因为函数定义域为，且，，
可知方程一定有实数根，故A正确；
由或.
所以函数在，上单调递增，在上单调递减.
且为极大值，为极小值.
做出函数草图如下：
观察图象可知：方程有唯一正实数解，有唯一负实数解，故BC正确；
又，结合函数的单调性，当时，，
所以无负实数解.故D错误.故选：ABC
11．已知点为双曲线C：上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别为，，则（????）
A． B． C． D．为定值
【答案】BCD
【解析】对于A，当趋近于无穷远处时，故A错误；
对于B，设点，满足，即，
又两条渐近线方程分别为，即，
故有，故B正确；
对于C，设渐近线的倾斜角为，
则，
所以，故C正确；
对于D，由C可知，，
所以为定值，故D正确.故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中常数项是．（用数字作答）
【答案】
【解析】由的展开式的通项得：，
令，得，故．
故答案为：.
13．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为.
【答案】或
【解析】设，则，则，此时，
所以或，又由已知，
直线AB的方程为或，
整理得或.
故答案