2025届新高三开学摸底考试卷
数学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
2．若，则的虚部为（????）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若与垂直，则等于（????）
A． B． C．3 D．6
4．已知，则（????）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（????）
A． B． C． D．
6．已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
7．已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（????）
A． B．． C． D．
8．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（????）
①；②必为奇函数；③；④若，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中，正确的是（????）
A．数据的第50百分位数为32
B．已知随机变量服从正态分布，；则
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，，，则
D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为4
10．设函数，则下列结论正确的是（????）
A．存在实数使得 B．方程有唯一正实数解
C．方程有唯一负实数解 D．有负实数解
11．已知点为双曲线C：上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别为，，则（????）
A． B． C． D．为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中常数项是．（用数字作答）
13．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为.
14．甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束．已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为n，则此时的概率．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在中，内角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，证明：为直角三角形.
16．（15分）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，且，求实数的值和的面积.
17．（15分）如图，在四棱台中，底面为正方形，为等边三角形，为的中点．
(1)证明：；
(2)若，，求直线与平面所成角的余弦值．
18．（17分）已知（，且）.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，求证：在上单调递增；
(3)设，已知，有不等式恒成立，求实数a的取值范围.
19．（17分）设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”．
(1)若，求数列的“点”；
(2)已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围；
(3)若，数列的“点”的个数为，证明：．