拓展思维的数学题试题及答案
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一、多项选择题（每题2分，共10题）
1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f(x)$的极值点为：
A.$x=1$，$x=2$，$x=3$
B.$x=1$，$x=2$，$x=-1$
C.$x=1$，$x=-2$，$x=-1$
D.$x=2$，$x=-1$，$x=3$
2.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$d=2$，则前$10$项和$S_{10}$等于：
A.100
B.110
C.120
D.130
3.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=5$的对称点$B$的坐标为：
A.$(4,2)$
B.$(2,4)$
C.$(1,4)$
D.$(1,2)$
4.设$P$是圆$x^2+y^2=4$上的一个动点，$Q$是直线$x-y+1=0$上的一个动点，则$PQ$的最小值为：
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$2$
5.函数$f(x)=\frac{1}{x+2}+\frac{2}{x}$的单调区间为：
A.$(-\infty,-2)$和$(-2,+\infty)$
B.$(-\infty,-2)$和$(-2,0)$
C.$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$
D.$(0,+\infty)$和$(-\infty,0)$
6.在三角形$ABC$中，$a=5$，$b=8$，$c=10$，则$\cosA$的值为：
A.$\frac{5}{12}$
B.$\frac{8}{15}$
C.$\frac{15}{17}$
D.$\frac{17}{15}$
7.设等比数列$\{a_n\}$的公比$q=2$，若$a_1=3$，则$a_5$的值为：
A.$48$
B.$24$
C.$12$
D.$6$
8.在复平面内，若$|z-1|=|z+i|$，则复数$z$的轨迹方程为：
A.$x+y=1$
B.$x-y=1$
C.$x+y=-1$
D.$x-y=-1$
9.设$u,v$是两个命题，则“$u$是$v$的必要条件”的逆否命题为：
A.“$v$是$u$的充分条件”
B.“$u$是$v$的充分条件”
C.“$v$是$u$的必要条件”
D.“$u$是$v$的必要条件”
10.设函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，若$f(x)=0$的三个根分别是$a,b,c$，则$ab+bc+ac$的值为：
A.$-4$
B.$-3$
C.$-2$
D.$1$
二、判断题（每题2分，共10题）
1.函数$y=\sqrt{x^2-1}$的定义域为$x\geq1$。（）
2.在直角坐标系中，若点$A(1,2)$和点$B(3,4)$，则$AB$的中点坐标为$(2,3)$。（）
3.若等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_3=7$，则公差$d=3$。（）
4.在三角形$ABC$中，若$AB=AC$，则$\angleA=\angleC$。（）
5.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处无定义，因此它不是连续函数。（）
6.在复平面内，若$|z|=1$，则复数$z$的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆。（）
7.若两个事件$A$和$B$相互独立，则$P(A\cupB)=P(A)+P(B)$。（）
8.对于任意的实数$x$，不等式$(x+1)^2\geq0$恒成立。（）
9.在等比数列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$q=\frac{1}{2}$，则数列的前$10$项均为正数。（）
10.若函数$f(x)=x^2-4x+4$在$x=2$处取得极值，则该极值为$f(2)=0$。（）
三、简答题（每题5分，共4题）
1.简述如何求一个二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标。
2.如何判断一个二次函数$y=ax^2+bx+c$的开口方向？
3.简述等差数列和等比数列的定义，并举例说明。
4.如何利用三角函数的性质证明$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$？
四、论述题（每题10分，共2题）
1.论述函数$y=\frac{x^2}{x^2+1}$的单调性，并求出其在$(-\infty,+\infty)$上的最大值和最小值。
2.论述复数在几何上的意义，并说明如何利用复数解决几何问题。
五、单项选择题（每题2分，共10题）
1.下列各数中，属于有理数的是：
A.$\sqrt{2}$
B.$\pi$
C.$\frac{1}{3}$
D.$i$
2.