数列的极限与收敛性试题及答案
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一、多项选择题（每题2分，共10题）
1.下列数列中，极限存在的是（）
A.{an}=n
B.{an}=(-1)^n
C.{an}=sin(nπ/2)
D.{an}=1/n
2.若数列{an}的极限为a，则下列说法正确的是（）
A.对于任意ε0，存在N∈N，当nN时，|an-a|ε
B.对于任意ε0，存在N∈N，当nN时，|an-a|ε
C.对于任意ε0，存在N∈N，当nN时，|an-a|≤ε
D.对于任意ε0，存在N∈N，当nN时，|an-a|≥ε
3.若数列{an}收敛于a，则下列说法正确的是（）
A.对于任意ε0，存在N∈N，当nN时，|an+a|ε
B.对于任意ε0，存在N∈N，当nN时，|an+a|ε
C.对于任意ε0，存在N∈N，当nN时，|an+a|≤ε
D.对于任意ε0，存在N∈N，当nN时，|an+a|≥ε
4.已知数列{an}满足an+1=an^2，且a1=1，则下列说法正确的是（）
A.{an}单调递增
B.{an}单调递减
C.{an}收敛于0
D.{an}收敛于1
5.若数列{an}满足an+1=(1+an)/(1-an)，且a1=1，则下列说法正确的是（）
A.{an}单调递增
B.{an}单调递减
C.{an}收敛于0
D.{an}收敛于1
6.已知数列{an}满足an+1=(1-an^2)/(1+an^2)，且a1=1/2，则下列说法正确的是（）
A.{an}单调递增
B.{an}单调递减
C.{an}收敛于0
D.{an}收敛于1
7.若数列{an}满足an+1=(1-an)/(1+an)，且a1=1/2，则下列说法正确的是（）
A.{an}单调递增
B.{an}单调递减
C.{an}收敛于0
D.{an}收敛于1
8.已知数列{an}满足an+1=(1+an)/(1-an)，且a1=1/2，则下列说法正确的是（）
A.{an}单调递增
B.{an}单调递减
C.{an}收敛于0
D.{an}收敛于1
9.若数列{an}满足an+1=(1-an^2)/(1+an^2)，且a1=1/2，则下列说法正确的是（）
A.{an}单调递增
B.{an}单调递减
C.{an}收敛于0
D.{an}收敛于1
10.已知数列{an}满足an+1=(1-an)/(1+an)，且a1=1/2，则下列说法正确的是（）
A.{an}单调递增
B.{an}单调递减
C.{an}收敛于0
D.{an}收敛于1
二、判断题（每题2分，共10题）
1.若数列{an}的极限存在，则数列{an}必定收敛。（）
2.若数列{an}收敛，则数列{an}的极限必定存在。（）
3.若数列{an}单调递增且无上界，则数列{an}必定收敛。（）
4.若数列{an}单调递减且无下界，则数列{an}必定收敛。（）
5.若数列{an}满足an+1=(1-an)/(1+an)，则数列{an}必定收敛。（）
6.若数列{an}满足an+1=(1+an)/(1-an)，则数列{an}必定收敛。（）
7.若数列{an}满足an+1=(1-an^2)/(1+an^2)，则数列{an}必定收敛。（）
8.若数列{an}满足an+1=(1+an)/(1-an)，则数列{an}必定收敛。（）
9.若数列{an}满足an+1=(1-an^2)/(1+an^2)，则数列{an}必定收敛。（）
10.若数列{an}满足an+1=(1-an)/(1+an)，则数列{an}必定收敛。（）
三、简答题（每题5分，共4题）
1.简述数列极限存在的定义，并说明如何判断一个数列是否收敛。
2.举例说明什么是单调有界准则，并解释为什么它能够用来判断数列的收敛性。
3.证明数列{an}=(-1)^n+(1/n)满足单调有界准则，并判断该数列的收敛性。
4.证明数列{an}=(1+1/n)^n的极限存在，并求出该极限的值。
四、论述题（每题10分，共2题）
1.论述数列极限的性质，包括极限的保号性、有界性、连续性等，并举例说明