数列极限问题的试题及答案
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一、多项选择题（每题2分，共10题）
1.下列数列中，收敛的数列是：
A.$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\ldots$
B.$1,2,3,4,\ldots$
C.$(-1)^n$
D.$\sqrt{n}$
2.若数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-3n+5$，则数列$\{a_n\}$的极限是：
A.0
B.1
C.5
D.无穷大
3.若数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=2a_n+1$，且$a_1=1$，则数列$\{a_n\}$的极限是：
A.2
B.3
C.4
D.5
4.若数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}$，且$a_1=1$，则数列$\{a_n\}$的极限是：
A.1
B.2
C.3
D.4
5.若数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{3}$，且$a_1=1$，则数列$\{a_n\}$的极限是：
A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{6}$
6.若数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=\frac{a_n^2+2}{a_n+3}$，且$a_1=1$，则数列$\{a_n\}$的极限是：
A.1
B.2
C.3
D.4
7.若数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=\frac{3}{2}a_n-\frac{1}{2}$，且$a_1=1$，则数列$\{a_n\}$的极限是：
A.1
B.2
C.3
D.4
8.若数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{2}$，且$a_1=1$，则数列$\{a_n\}$的极限是：
A.1
B.2
C.3
D.4
9.若数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=\frac{3}{2}a_n+\frac{1}{2}$，且$a_1=1$，则数列$\{a_n\}$的极限是：
A.1
B.2
C.3
D.4
10.若数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{3}$，且$a_1=1$，则数列$\{a_n\}$的极限是：
A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{6}$
二、判断题（每题2分，共10题）
1.若数列$\{a_n\}$的极限存在，则数列$\{a_n\}$必定是收敛的。（）
2.数列$\{a_n\}$收敛的充分必要条件是$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。（）
3.若数列$\{a_n\}$收敛，则数列$\{a_n\}$必定是单调的。（）
4.若数列$\{a_n\}$的极限存在，则数列$\{a_n\}$的任意子数列也收敛。（）
5.若数列$\{a_n\}$的极限不存在，则数列$\{a_n\}$必定是发散的。（）
6.若数列$\{a_n\}$的极限是$L$，则数列$\{a_n\}$的任意子数列的极限也必定是$L$。（）
7.若数列$\{a_n\}$的极限存在，则数列$\{a_n\}$必定是收敛的，且极限值为$L$。（）
8.若数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-3n+5$，则数列$\{a_n\}$的极限是无穷大。（）
9.若数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\sqrt{n}$，则数列$\{a_n\}$的极限是$0$。（）
10.若数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\frac{1}{n}$，则数列$\{a_n\}$的极限是$1$。（）
三、简答题（每题5分，共4题）
1.简述数列极限的定义，并说明如何判断一个数列的极限是否存在。
2.举例说明数列极限的保号性原理，并解释其含义。
3.举例说明数列极限的夹逼准则，并解释其应用。
4.证明数列$\{a_n\}$，其中$a_n=\frac{n^2+1}{n}$，是收敛的，并求出其极限值。
四、论述题（每题10分，共