这个二维拉普拉斯方程的求解域是一个平面区域在求解域内的一个小区域内拉普拉斯方程也是成立的，也就是如果方程两边同时乘以这个小区域的面积，结果会是这样第31页，共55页，星期日，2025年，2月5日设想把求解域划分成若干个小区域，也就是说求解域的面积等于这些小区域面积和对于每一个小区域来说，刚才的推导也是成立的现在我们把它对所有小区域求和第32页，共55页，星期日，2025年，2月5日现在我们把它对所有小区域求和再进一步，如果我们取的小区域趋向无穷小，也就是回忆一下，高等数学中定积分的概念，立刻就可以得到对于边界条件我们同样可以做类似的分析第33页，共55页，星期日，2025年，2月5日上面的积分式成立根本原因是拉普拉斯方程及其边界条件成立，拉普拉斯方程从以下这个角度看待现在，我们把1换成其他的，任意的函数，同样成立对于边界条件也可以这样按照刚才的思路，同样可以得到一个积分等式第34页，共55页，星期日，2025年，2月5日这个方程与拉普拉斯方程及其边界条件是等效的，也就是说，只要拉普拉斯方程成立这个积分式就成立，反过来只要这个积分式成立，拉普拉斯方程及其边界条件就成立。这就是拉普拉斯方程及其边界条件的等效积分形式。我们可以把它推广到一般情况。第35页，共55页，星期日，2025年，2月5日现在，我们来看一般的微分方程组的情况，之前曾介绍过，微分方程组及其边界条件可以表示为：像上面拉普拉斯方程等效积分形式分析的过程一样，对微分方程组中每一个微分方程，以下的积分都是成立的都是任意的函数，把这些积分加起来第36页，共55页，星期日，2025年，2月5日对于边界条件也一样，只是积分是沿边界积分上面这两个积分，我们可以写成矢量形式这两个积分加起来，就得到想要得到的结果了第37页，共55页，星期日，2025年，2月5日这就是微分方程组等效积分形式的一般式，它与原微分方程完全等效，就像之前以拉普拉斯方程为例进行讨论的情况一样。微分方程（组）的等效积分形式，是有限元方法的理论基础之一，推导有限元求解方程的方法之一就是从微分方程（组）的等效积分出发，由于与原微分方程的等效性，从而保证了有限元求解的正确性。第38页，共55页，星期日，2025年，2月5日上面分析中对等效积分中使用的任意函数以及微分方程的解的性质没有做出任何限定，事实上，对它们是有一定限制的，那就是它们应该使得等效积分式中的被积函数具有可积性或者说使积分能够进行计算在这个积分式中，要使这个积分存在，不能出现无穷大的情况第39页，共55页，星期日，2025年，2月5日关于微分方程及其定解条件等效积分第1页，共55页，星期日，2025年，2月5日几个典型的问题弦振动问题的微分方程及定解条件传热问题的微分方程及定解条件位势方程及定解条件第2页，共55页，星期日，2025年，2月5日 弦是一种抽象模型，工程实际中，可以模拟绳锁、电缆等结构，如远距离输电线路、一些桥梁的悬索、拉锁等；几何上可以用一条线段（不一定是直线段）来表示弦。 这里所说的弦的振动是弦的微小横振动，一定长度的、柔软、均匀的弦，两端拉紧，在垂直于弦线的外力下做微小横振动，弦的运动发生在同一平面内，弦的各点位移与平衡位置垂直第3页，共55页，星期日，2025年，2月5日弦的长度l，线密度为，弦的张力为T弦振动的微分方程为：f是垂直于平衡位置的外力第4页，共55页，星期日，2025年，2月5日这个微分方程虽然描述了弦振动时各点的运动状态，但单纯依靠这个微分方程，我们还不能唯一确定弦的振动，必须给出定解条件，定解条件主要有两种，一种是初始时刻弦的运动状态，称为初始条件：初始时刻各点的位移初始时刻各点的速度第5页，共55页，星期日，2025年，2月5日另外一种定解条件是边界条件，对于弦振动问题来说给定弦的两个端点的运动规律，一般来说边界条件有三种：第一种给定弦端点的位移第二种给定位移梯度的端点值位移的梯度表示弦线的挠度第6页，共55页，星期日，2025年，2月5日第三种边界条件是端点的位移和速度的线性组合是一个已知函数，对于弦振动这个边界条件的物理意义是，弦的端点固定在两个弹性支撑上，两个弹性支撑的弹性系数为：k0，k1第7页，共55页，星期日，2025年，2月5日以上是弦振动的数学模型，是由微分方程与相应的定解条件（初值条件，边值条件）共同组成的，这一样问题又称为混合初边问题。定解条件中只有初值条件的问题称为初值问题。定解条件中只有边值条件的，称为边值问题。第8页，共55页，星期日，2025年，2月5日下面来看