;命题形式
本专题知识内容丰富,题目难度跨度较大,出题形式常常是一大一小.重点考查内容有:
①利用导数的几何意义求曲线的切线方程;②利用导数研究函数的单调性、极值、最
值问题;③利用导数解决不等式恒成立问题、不等式证明问题;④利用导数研究函数零
点问题.在复习备考中要注重练习含参问题的讨论、恒成立问题的转化以及有关不等
式证明问题的处理方法.重视数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程思想的
应用.;考点1导数的概念及几何意义;2.导数的几何意义
函数f(x)在x=x0处导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处切线的斜率.相应地,切线
方程为y-y0=f(x0)(x-x0).
函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,|f(x)|的大小反映了f(x)图象变化
的快慢,|f(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.;考点2导数的运算;2.导数的运算法则
[f(x)±g(x)]=f(x)±g(x);
[f(x)·g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x);
?=?(g(x)≠0);
[cf(x)]=cf(x).;考点3复合函数的导数
一般地,由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=
g(x)的导数间的关系为yx=yu·ux.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.;即练即清;题型一导数的运算;变式训练1-1????(情境模型变式)(2025届福建泉州阶段练)已知函数f(x)=ex+2f′(0)x+1,
则f′(2)的值为????.;变式训练1-2????(设问条件变式)若定义域都为R的函数f(x)及其导函数f′(x),满足对任意
实数x都有f(x)-f(2025-x)=2x-2025,则?f(k)=????.;题型二曲线的切线问题
解决切线问题应注意以下三点:;角度1在某点处的切线问题;解析????
由y=?,可得y=?=?,则y|x=1=?,∴曲线在点?处的切线方程
为y-?=?(x-1),即y=?x+?,故选C.;变式训练2-1????(关键元素变式)已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,
则(????)
A.a=e,b=-1????
B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1????
D.a=e-1,b=-1;角度2过某点的切线问题;变式训练2-2????(结论拓展变式)(2025届湖北省实验中学月考,13)已知直线y=kx+b与函
数f(x)=?x2+lnx的图象相切,则k-b的最小值为????.;解析????
设切点为P?,
由f(x)=x+?,得斜率k=x0+?,
则切线方程为y-?=?(x-x0),
即y=?x-??+lnx0-1,
故?;故k-b=??+x0+?-lnx0+1,
令g(x)=?x2+x+?-lnx+1(x0),
则g(x)=x+1-?-?=?,
当x∈(0,1)时,g(x)0,g(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,g(x)0,g(x)单调递增,
所以g(x)min=g(1)=?,即k-b的最小值为?.;角度3公切线问题;解得x1=?,从而b=lnx1+1=1-ln2.;变式训练2-3????(设问条件变式)(2024广东茂名一模,7)曲线y=lnx与曲线y=x2+2ax有公切
线,则实数a的取值范围是?(????)
A.?????B.?
C.?????D.?;解析????
对两个函数分别求导得y=?,y=2x+2a,
设公切线与曲线y=lnx,y=x2+2ax相切的切点分别为(x1,lnx1),(x2,?+2ax2),则在这两点处
的切线方程分别为y=?+lnx1-1,y=(2x2+2a)x-?,
则?(利用切线重合,建立等式关系)
所以2a=?-2x2,(lnx1=1-?,则?=?,即x1=?)
设f(x)=?-2x,f(x)=2(x?-1),f(1)=0,
令g(x)=f(x)=2(x?-1),所以g(x)=2(2x2+1)?0,;所以g(x)在R上单调递增,又f(1)=0,
则f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以2a≥f(1)=-1,a≥-?.故选B.