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高考数学

导数及其应用大题综合

恒成立与能成立（有解）问题

fxxlnx

12024··??

．（天津高考真题）设函数．

fx1,f1

(1)求??图象上点????处的切线方程；

fx?ax?xx?0,??a

(2)若????在??时恒成立，求的值；

1

x,x?0,12

(3)若12??，证明fx?fx?x?x．

????

1212

【答案】(1)yx?1

(2)2

(3)证明过程见解析

1

【分析】（）直接使用导数的几何意义；

2a2a2

（）先由题设条件得到，再证明时条件满足；

fxx,x

3??.

（）先确定的单调性，再对12分类讨论

fxxlnxfxlnx?1?

1????.

【详解】（）由于，故

f10f11?1,0yx?1

所以??，??，所以所求的切线经过??，且斜率为，故其方程为.

1

?1t?1??

htt?1?lntht1?ht?0t?1ht?0

2??0?t?1????.

（）设，则??，从而当时，当时

tt

ht0,11,??ht?h1

??????????t?1?lnt

所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立

当且仅当t1.

gtat?1?2lnt

设????，则

??1?1??1?

fx?ax?xxlnx?ax?xxa