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2025北京人大附中高二（下）期中
数学
2025年4月23日
制卷人：宁少华王鼎审卷人：莫中オ
说明：本试卷共六道大题，26道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（共18题，满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
1.数列的前项和为，点在函数的图象上，则（）
A. B. C. D.
2.函数的极值点的个数为（）
A. B. C. D.
3.等差数列各项均为正整数，前n项和为,，若，则n＝（）
A.4 B.5 C.6 D.7
4.函数与的图象有且只有两个公共点，则（）
A. B. C.或 D.以上答案均不是
5.若函数不单调，则可以为（）
A. B. C. D.
6.函数的零点个数为（）
A. B. C. D.
7.谢尔宾斯基垫片（SierpinskiGasket）是一种分形图形，其构造过程如下：
①从一个边长为1的等边三角形开始；
②将三角形分成4个全等的等边三角形，去掉中间的三角形，完成一次操作；
③对剩下的3个三角形重复步骤②；
设第n次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和为，面积之和为．
下列结论错误的是（）
A.经过n次操作，可以使得
B.经过n次操作，可以使得
C.经过n次操作，可以使得
D.经过n次操作，可以使得
8.设等差数列的前项和为，则“是递增数列”是“有最小值”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.给定函数及点M，设，若，则称是关于M的“最近点”．已知是关于的“最近点”，则（）
A. B.
C. D.
10.若函数的图像连续，则（）
A.存在是偶函数
B.存在在处取到极值
C.存在是减函数
D.存在在处取最大值
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）
11.已知函数，则______．
12.函数的单调递增区间是______．
13.函数的定义域为，无穷数列的前n项和为，写出一个能说明命题“若，则”为假命题的函数的表达式：______．
14.Logistic增长模型描述了受资源限制的种群增长规律，广泛应用于生物学等领域．该模型的数学表达式为，其中表示t时刻的种群数量，M为环境的最大承载容量（种群数量的上限），为初始时刻的种群数量，r为种群的内栾增长率（与繁殖率，死亡率相关），．
①若，则初始时刻生物种群的增长速度是______；
②若，则当种群数量达到环境的最大承载容量一半时，生物种群的增长速度是______．（用M，r表示）
15.已知数列，若，
，则称为低波动数列，给出以下四个结论：
①若公差为d的等差数列是低波动数列，则；
②若公比为q的等比数列是低波动数列，则；
③若数列是低波动数列，则；
④若数列满足，则是低波动数列．其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
16.已知等差数列的公差为d，，且2d是的等差中项
（1）求通项公式：
（2）等比数列的前n项和为，若，求n的最大值．
17.已知函数．
（1）若时，取得极值，求a；
（2）求在[0，1]上的最小值；
（3）若直线l是与曲线有且只有一个公共点的切线，直接写出直线l的方程．
18.已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）若，，求的取值范围；
（3）若、，讨论与的大小关系，并说明理由．
第Ⅰ卷（共8题，满分50分）
四、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
19.在处取极小值，则的取值集合是（）
A. B. C. D.
20.下列不等式正确的是（）
A. B. C. D.
21.已知是等差数列，是公比为的等比数列，为元集，则（）
A. B. C. D.以上答案都不对
22.已知（n个根号），下列结论错误的是（）
A.
B.
C.
D.
五、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）
23.甲方和乙方分别作为买家和卖家藏某商品进行价格谈判．第一轮，甲方出价万元，乙方要价万元．以后每一轮谈判中，双方根据上一轮的情况调整自己的报价，其中甲方新报价为上一轮自己报价的加