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2024-2025学年湖南省长沙市铁路一中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z1=6?5i，z2=3+2i，其中i为虚数单位，则
A.9?3i B.9+3i C.9?7i D.9+7i
2.已知向量a=(1,2)，b=(x,4)，若b=2a，则
A.5 B.2 C.3 D.4
3.如图是由哪个平面图形旋转得到的(????)
A. B. C. D.
4.已知圆锥的底面半径是1，高是2，则这个圆锥的体积为(????)
A.2π3 B.π C.4π3
5.半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是(????)
A.22R3 B.43π
6.已知tan(α+β)=3，tan(α?β)=2，则tan2β=(????)
A.65 B.7 C.17
7.把函数y=sin2x图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图像向右平移π4个单位长度，得到f(x)的图像，则f(x)=(????)
A.sin(x?π4) B.sin(x+π
8.在△ABC中，点P是AB上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是BC中点，AQ与CP交点为M，又CM=tCP，则t=(????)
A.12B.23
C.34
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，观察下列四个几何体，其中判断正确的是(????)
A.①是棱台 B.②是圆台 C.③是四面体 D.④是棱柱
10.已知复数z=5?4i，以下说法正确的是(????)
A.z的实部是5 B.|z|=41
C.z?=5+4i
11.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,0φπ)的部分图象如图，若f(x)的相邻两个零点间的距离为π2，则
A.ω=2
B.φ=π6
C.f(x)的零点形成的集合为{x|x=kπ?π12(k∈Z)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.i为虚数单位，计算1?i2?i=______．
13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=30°，b=1，c=2，则C=______．
14.若f(α)=12tanα+2sinα
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,3)，b=(?2,1)．
(1)求向量a与b夹角的余弦值；
(2)若向量a+b与a?k
16.(本小题15分)
如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面(过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面)ABCD是边长为6的正方形．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的体积．
17.(本小题15分)
设函数f(x)=2sin(2x?π6)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)求函数在x∈[0,π2
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3bcosA=3asinB．
(1)求A；
(2)若a=2，△ABC周长为6，求△ABC的面积；
(3)若△ABC为锐角三角形，求
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．
(1)设g(x)=cos(x+π4)+3cos(π4?x)(x∈R)，试求函数g(x)的相伴特征向量OM，并求出与OM方向相反的单位向量；
(2)记向量ON=(1,3)的相伴函数为f(x)，若f(x)=45且x∈(?π3,π6)，求sinx的值；
参考答案
1.A?
2.B?
3.D?
4.A?
5.D?
6.C?
7.A?
8.C?
9.CD?
10.ABC?
11.ABD?
12.35
13.90°?
14.?1?
15.解：(1)a=(1,3)，b=(?2,1)，
∴a?b=?2+3=1，
|a|=12+32=10，|b|=(?2)2+12=5，
设向量a与b
16.解：由题意可知半球的半径R=3，圆柱的底面圆半径r=3，高?=6，
(1)由球的表面积公式可得半球的曲面面积S1=12×4πR2=18π，
由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积S2=πr2=9π，
由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积S3=2πr?=36π，
故该几何体的表面积S=
17.解：