6.2.3-6.2.4组合与组合数
教材分析
教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》,第六章《计数原理》,本节课主本节课主要学习组合与组合数.
排列与组合是在学习了两个计数原理之后，由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础，同时排列和组合又能进一步简化和优化计数问题。教学的重点是组合的理解，利用计数原理及排列数公式推导组合数公式，注意区分排列与组合的区别，难点是运用组合解决实际问题。
教学目标与核心素养
教学目标与核心素养
课程目标
学科素养
A.理解并掌握组合、组合数的概念，掌握组合与排列之间的联系与区别.
B.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质，并运用于计算之中.
C.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题，提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.
1.数学抽象：组合的概念
2.逻辑推理：组合数公式的推导
3.数学运算：组合数的计算及性质
4.数学建模：运用组合解决计数问题
重点难点
重点难点
重点：组合、组合数的概念并运用排列组合公式解决问题
难点：组合与排列之间的联系与区别
课前准备
课前准备
多媒体
教学过程
教学过程
教学过程
教学设计意图核心素养目标
一、问题探究
问题1.从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法?这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别?
分析：在6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和
“甲上午，乙下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选
出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、
丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为
一组，不需要考虑他们的顺序。于是，在6.2.1节问题1的6种选法
中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：
甲乙、甲丙、乙丙.
从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组?
一、组合的相关概念
1.组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.相同组合：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.
名师点析排列与组合的区别与联系
(1)共同点：两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
(2)不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.
1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题?
(1)从中选3辆，有多少种不同的方法?
(2)从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法?
(1)与顺序无关，是组合问题；
(2)选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。
通过具体问题，
分析、比较、归纳出
组合的概念。发展学
生数学运算，数学抽
象和数学建模的核
心素养。
例5.平面内有A,B,C,D共4个点.
(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?
(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条?
分析：(1)确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；
(2)确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题.
解：(1)一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4
个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出
2个元素的排列数，即有向线段条数为A2=4×3=12.
这12条有向线段分别为
AB,BA,AC,CA,AD,DA,BC,CB,BD,DB,CD,DC.
(2)由于不考虑两个端点的顺序，因此将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，
共有如下6条：
AB,AC,AD,BC,BD,CD.
问题2:利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系
吗?
进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数?
二、组合数与组合数公式
1.组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cm表示.
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为C3,
从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为C2.
思路：从4个不同元素中取出3个元素的组合数C3,设这4个元素为a,b,c,d,那么从中取出3个元素的排列数A3=24,以“元素相
在典例分析和
练习中让学生熟悉
组合和组合数的概
念，进而灵活运用排
列数解决问题。发展
学生逻辑推理，直观
想象、数学抽象和数
学运算的核心素养。
同”