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江西赣州2024届高三数学第二学期年3月摸底考试试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟
第I卷（选择题共58分）
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
A.B.C.D.
2.已知为虚数单位.，则（）
A.1B.C.2D.4
3.在中，，则（）
A.B.C.D.
4.在棱长为1的正方体中，为棱的中点，过且平行于平面的平面截正方体所得截面面积为（）
A.B.C.D.
5.在平行四边形中，，则（）
A.16B.14C.12D.10
6.若一组样本数据的方差为，则样本数据的方差为（）
A.1B.2C.2.5D.
7.已知，则（）
A.B.
C.D.
8.在边长为4的正方体中，点是的中点，点是侧面内的动点（含四条边），且，则的轨迹长度为（）
A.B.C.D.
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知等比数列的前项和为，则（）
A.B.
C.数列为单调数列D.数列为单调数列
10.已知函数，则（）
A.是的一个周期B.的图象关于原点对称
C.的图象过点D.为上的单调函数
11.曲线是平面内与两个定点的距离的积等于的点的轨迹，则（）
A.曲线关于坐标轴对称B.周长的最小值为
C.到轴距离的最大值为D.到原点距离的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.求值：__________.
13.展开式中的常数项为__________.
14.已知是抛物线上异于顶点的点，在处的切线分别交轴?轴于点，过作的垂线分别交轴?轴于点，分别记与的面积为，则的最小值为__________.
四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为侧棱的中点.
（1）求点到平面的距离：
（2）求二面角的正切值.
16.（15分）
某人准备应聘甲?乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中，技能测试是否通过相互独立.
（1）若.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率；
（2）已知甲?乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围.
17.（15分）
己知椭圆过点，椭圆的右焦点与点所在直线的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过的直线与椭圆交于两点.点.直线分别交椭圆于点，直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
18.（17分）
已知函数.
（1）求的单调区间，
（2）已如.若函数有唯一的零点.证明，.
19.（17分）
设数列.如果对小于的每个正整数都有.则称是数列的一个“时刻”.记是数列的所有“时刻”组成的集合，的元素个数记为.
（1）对数列，写出的所有元素；
（2）数列满足，若.求数列的种数.
（3）证明：若数列满足，则.
赣州市2024年高三年级摸底考试
数学（理科）参考答案
一?单选题（共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
A
A
C
D
D
二?多选题（共18分）
题号
9
10
11
答案
BC
ABC
ABD
三?填空题（共15分）
12.13.63014.1
四?解答题（共77分）
15.解：（1）由平面，可得
令点到平面的距离为，则
由，可得
则
由，可得：
由平面，可得，则
则，即点到平面的距离为
（2）设为的中点，过作交于，连结
是的中点，平面
平面，
为二面角的一个平面角
又，
且，可得
则
即二面角的正切值为
说明：也可以利用向量法!
16.解：（1）记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为事件
由题设
（2）分别记“该应聘者应聘甲?乙公司三项专业技能测试中通过的项目数为”
由题设知：
所以
的所有可能取值为
，
，
，
故的