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湖南2024~2025学年高二数学第一学期入学考试试题
本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知空间向量，，若，则（）
A.1 B. C. D.3
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】因为，，且，所以，解得，
故选：B.
2.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解对数不等式求出集合A，再结合交集定义计算即可.
【详解】因为，所以，即，
所以
所以.
故选：C.
3.已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理，结合单位正交基底，求向量的坐标.
【详解】空间向量，，则，
故以为单位正交基底时的坐标为.
故选：B
4.样本数据：48，49，50，50，50，50，51，52的方差为（）
A.1 B.1.25 C.2.5 D.4
【答案】B
【解析】
【分析】先求出数据的平均值，由方差公式计算方差.
【详解】样本数据的平均数，
方差.
故选：B.
5.底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作圆锥与其内切球的轴截面，利用直角三角形求出内切球的半径，再计算内切球的体积.
【详解】由题意可知，圆锥的母线，底面半径，
根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示：
根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆，即为等腰的内切圆，
即，，，，
在中，，由，，则，
在中，，即，
可得，解得，即内切球的半径，
故内切球体积.
故选：C.
6.已知函数图象的两个相邻对称中心为，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两相邻对称中心的距离为周期的一半及周期公式求得，再代入正弦函数的中心对称结论列式，根据求解即可.
【详解】由图象的两个相邻对称中心为，，
可得，所以，故，
又，则，结合，得.
故选：A.
7.近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位时间内心跳的次数）与其自身体重满足的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg、脉搏率为205次，若经测量一匹马的脉搏率为41次，则这匹马的体重为（）
A.350kg B.450kg C.500kg D.250kg
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知函数模型代入即可得出，最后再根据脉搏率得出体重.
【详解】根据题意，当时，，则，
当时，则，故.
故选：D.
8.已知函数，若方程在区间上有且仅有2个不等的实根，，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分和两种情况得出函数的图象再结合图象得出2个不等的实根，再计算可得的取值范围.
【详解】当时，，当时，，
作出函数在区间上的图象如图所示，
结合图象可得，当时，方程在上有且仅有2个不等的实根，，
且，所以的取值范围是.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解.
【详解】，
即，故A错误、B正确；
，
即，故C错误，D正确.
故选：BD.
10.已知函数，则（）
A.为偶函数 B.的值域为
C.在上单调递减 D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据偶函数的定义判断A，根据指数复合函数值域的求法求解判断B，结合指数函数的单调性及复合函数的单调法则判断C，利用单调性比较大小判断D.
【详解】易得的定义域为，且，
故不为偶函数，故A错误；
令，则，
因为在上的值域为，故B正确；
因为在上单调递增，且在上单调递减，
所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，故C正确；
由于函数在上单调递减，所以，故D错误.
故选：BC
11.已知正数，满足且，则（）
A.的最小值为16